Комплексные числа

содержание справочника

Алгебраическая форма

$z=a+bi$, где $i$ - мнимая единица, $i^2=-1$

$a=\mathrm{Re} z$ - действительная часть

$b=\mathrm{Im} z$ - мнимая часть

$\overline{z}=a-bi$ - сопряженное к $z$

$i^{4n}=1$, $i^{4n+1}=i$, $i^{4n+2}=-1$, $i^{4n+3}=-i$, $n\in N$

Тригонометрическая форма

$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$

$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ - модуль

$\varphi=arg z$, $-\pi<\varphi\le\pi$ - главное значение аргумента

$\cos\varphi=\displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin\varphi=\displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\mathrm{tg}\varphi=\displaystyle\frac{b}{a}$

$z_1z_2=r_1r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2))$

$\displaystyle\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2))$

$\overline{z}=r(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))$

Формула Муавра

$(r(\cos\varphi+i\sin\varphi))^n=r^n(\cos{n\varphi}+i\sin{n\varphi})$

Извлечение корня

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\displaystyle\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)$, $k=0,1,...,n-1$

Экспоненциальная форма

$z=re^{i\varphi}$

Свойства сопряженных чисел

1. $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
2. $\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$
3. $\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}$
4. $\overline{\left(\displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right)}=\displaystyle\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$
5. $\overline{z^n}=(\overline{z})^n$
6. $z\cdot\overline{z}=|z|^2$

Свойства модуля

1. $|\overline{z}|=|z|$
2. $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|$
3. $|z^n|=|z|^n$
4. $\left|\displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right|=\displaystyle\frac{|z_1|}{|z_2|}$
5. $|z_1|-|z_2|\le|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|$
6. $|z_1|-|z_2|\le|z_1-z_2|\le|z_1|+|z_2|$