Прогрессии

к содержанию справочника

Арифметическая прогрессия

1. Арифметическая прогрессия – числовая последовательность \((a_n)\) со свойством \(a_{n+1}=a_n+d\), \(n=1,2,3,…\). Число \(d\) – разность арифметической прогрессии.
2. При \(d>0\) прогрессия возрастает, при \(d<0\) прогрессия убывает, при \(d=0\) прогрессия постоянна.
3. Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+d(n-1)\)
4. Свойство: \(a_{n+1}-a_n=a_{n+2}-a_{n+1}\)
5. Свойство: \(d=\displaystyle\frac{a_n-a_m}{n-m}\)
6. Характеристическое свойство: \(a_{n}=\displaystyle\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\)
7. Свойство: если \(n+m=k+p\), то \(a_n+a_m=a_k+a_p\).
8. Сумма первых \(n\) членов прогрессии: \(S_n=\displaystyle\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n =\displaystyle \frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n\)
9. Пример: \(2, 5, 8, 11, … \). Разность \(d\) равна 3. Сумма первых 4 членов равна \(S_4=\displaystyle\frac{2+11}{2}\cdot 4 = 26\)

Геометрическая прогрессия

1. Геометрическая прогрессия – числовая последовательность \((b_n)\) со свойствами: а) \(b_1\ne 0\) б) \(b_{n+1}=b_n\cdot q\), где  \(q\ne 0\)  и \(n=1,2,3,…\). Число \(q\) – знаменатель геометрической прогрессии.
2. При \(b_1>0\) и \(q>1\) прогрессия является возрастающей, при \(b_1>0\) и \(0<q<1\) прогрессия является убывающей. При \(q<0\) прогрессия является знакочередующейся. При \(q=1\) прогрессия постоянна.
3. Формула \(n\)-го члена: \(b_n=b_1q^{n-1}\)
4. Свойство: \(\displaystyle\frac{b_{n+1}}{b_n}=\displaystyle\frac{b_{n+2}}{b_{n+1}}\)
5. Характеристическое свойство: \(b_{n}^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}\)
6. Свойство: если \(n+m=k+p\), то \(b_n\cdot b_m=b_k\cdot b_p\).
7. Сумма первых \(n\) членов: а) если \(q\ne 1\), то \(S_n=\displaystyle\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}\); б) если \(q=1\), то \(S_n=b_1\cdot n\).
8. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \(S=\displaystyle\frac{b_1}{1-q}\), если \(|q|<1\).
9. Пример: \(4,2,1,\displaystyle\frac{1}{2},…\). Знаменатель \(q\) равен \(\frac{1}{2}\). Сумма первых 4 членов равна \(S_4=\displaystyle\frac{4(1-(\frac{1}{2})^4)}{1-\frac{1}{2}}=\frac{15}{2}\). Так как \(|q|=\frac{1}{2}<1\), то прогрессия является бесконечно убывающей и \(S=\displaystyle\frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8\).

дополнительно смотрите Справочник. Формулы для суммирования и Задачи на прогрессии