Арифметическая и геометрическая прогрессии
Первый уровень
- Найдите четыре целых числа, из которых первые три составляют арифметическую, а последние три – геометрическую прогрессию, если сумма двух крайних чисел равна 37, а сумма двух средних чисел равна 36.
- Три числа, первое из которых равно 1, образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Если одно из них удвоить, то эти числа, взятые в том же порядке, образуют арифметическую прогрессию. Найдите среднее арифметическое этих трех чисел.
- Разность между вторым и первым членами геометрической прогрессии равна 4, а разность между ее третьим и вторым членами равна 12. Определите сумму десяти членов арифметической прогрессии, первый и пятый члены которой равны первому и третьему членам геометрической прогрессии.
- Известно, что существует такая арифметическая прогрессия, в которой первые два члена совпадают с первыми двумя членами геометрической прогрессии, третий на 12 меньше третьего члена геометрической прогрессии, а четвертый член равен 21. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.
- Найдите четыре числа, из которых первые три составляют арифметическую прогрессию, а последние три – геометрическую прогрессию, если сумма двух крайних чисел равна 22, а сумма двух средних чисел равна 20.
Второй уровень
- Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то она станет арифметической. Если после этого увеличить последнее число на 64, то прогрессия снова превратится в геометрическую. Найдите эти числа.
- Четыре числа составляют геометрическую прогрессию. Если из них вычесть 2, 1, 7 и 27, то вновь полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.
- Три числа, сумма которых равна 78, образуют геометрическую прогрессию. Их можно рассматривать также как первый, третий и девятый члены арифметической прогрессии. Найдите эти числа.
- Цифры трехзначного числа составляют геометрическую прогрессию. Если из данного числа вычесть 297, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если же к цифрам данного числа, начиная с разряда сотен, прибавить соответственно 8,5 и 1, то полученные суммы составят арифметическую прогрессию. Найдите исходное число.
- Найдите сумму чисел, одновременно являющихся членами арифметической прогрессии 12, 15, 18, … и геометрической прогрессии 1, 3, 9, …, если каждая из этих прогрессий содержит по 100 членов.
Ответы
- 12, 16, 20, 25
- \(5(2+\sqrt{3})/3\)
- 200
- 3; 5/7
- 4, 8, 12, 18; 17,5, 12,5, 7,5, 4,5
- 4, 12, 36; 4/9, -20/9, 100/9
- 7, 14, 28, 56
- 6, 18, 54; 26, 26, 26
- 421
- 351