Иррациональные уравнения и неравенства 

содержание справочника

1. При $a<0$ уравнение $\sqrt{f(x)}=a$ не имеет корней
2. При $a\ge0$ уравнение $\sqrt{f(x)}=a$ равносильно уравнению $f(x)=a^2$.
3. $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l l} f(x)=g(x),\\ g(x)\ge0\end{array}\right.$ (или $f(x)\ge0$ вместо второго неравенства)
4. $\sqrt{f(x)}=g(x)$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l l} f(x)=(g(x))^2,\\ g(x)\ge0\end{array}\right.$
5. $\sqrt{f(x)}<g(x)$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l l} f(x)<(g(x))^2,\\ f(x)\ge0,\\g(x)\ge0\end{array}\right.$
6. $\sqrt{f(x)}\le g(x)$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l l} f(x)\le(g(x))^2,\\ f(x)\ge0,\\g(x)\ge0\end{array}\right.$
7. $\sqrt{f(x)}>g(x)$ $\Leftrightarrow$ $\left[\begin{array}{l l}\left\{\begin{array}{l l} f(x)>(g(x))^2,\\g(x)\ge0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l l}f(x)\ge0,\\g(x)<0\end{array}\right.\end{array}\right.$
8. $\sqrt{f(x)}\ge g(x)$ $\Leftrightarrow$ $\left[\begin{array}{l l}\left\{\begin{array}{l l}f(x)\ge(g(x))^2,\\g(x)\ge0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l l}f(x)\ge0,\\g(x)<0\end{array}\right.\end{array}\right.$

смотрите еще Справочник. Модуль и его свойства