Иррациональные уравнения и неравенства 

содержание справочника

1. При \(a<0\) уравнение \(\sqrt{f(x)}=a\) не имеет корней
2. При \(a\ge0\) уравнение \(\sqrt{f(x)}=a\) равносильно уравнению \(f(x)=a^2\).
3. \(\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{array}{l l} f(x)=g(x),\\ g(x)\ge0\end{array}\right. \) (или \(f(x)\ge0\) вместо второго неравенства)
4. \(\sqrt{f(x)}=g(x)\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{array}{l l} f(x)=(g(x))^2,\\ g(x)\ge0\end{array}\right. \)
5. \(\sqrt{f(x)}<g(x)\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{array}{l l} f(x)<(g(x))^2,\\ f(x)\ge0,\\g(x)\ge0\end{array}\right. \)
6. \(\sqrt{f(x)}\le g(x)\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{array}{l l} f(x)\le(g(x))^2,\\ f(x)\ge0,\\g(x)\ge0\end{array}\right. \)
7. \(\sqrt{f(x)}>g(x)\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[\begin{array}{l l}\left\{\begin{array}{l l} f(x)>(g(x))^2,\\g(x)\ge0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l l}f(x)\ge0,\\g(x)<0\end{array}\right.\end{array}\right.\)
8. \(\sqrt{f(x)}\ge g(x)\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[\begin{array}{l l}\left\{\begin{array}{l l}f(x)\ge(g(x))^2,\\g(x)\ge0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l l}f(x)\ge0,\\g(x)<0\end{array}\right.\end{array}\right.\)
9. \(\sqrt{f(x)}\le \sqrt{g(x)}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{array}{l l} f(x)\le g(x),\\ f(x)\ge0 \end{array}\right. \)

смотрите еще Справочник. Модуль и его свойства