Подготовка к ЕГЭ. Тригонометрические уравнения II

1. Решите уравнение \(1+3^{ctg x}=6\cdot 9^{\displaystyle\frac{\sin (x/4)}{\sqrt{2}\sin x}}\)
2. При каком значении \(x\) значения функции \(y=\arcsin 4x\) и \(y=\arccos 3x\) совпадают?
3. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций \(y=\sin 5x\) и \(y=\cos 2x\)
4. Найдите наименьший положительный корень уравнения \(3\sin x+\sin 2x-3\cos x=1\)
5. Найдите сумму корней уравнения \((1-2\sin^2 x)\sqrt{9-x^2}=0\)
6. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения \(\sin^2 x-\frac{3}{5}\cdot 5^{\log_5(\sin x)}=\frac{2}{5}\)
7. Определите количество корней уравнения \(\sin x=-x^2+2x+2\)
8. Решите уравнение \(\log_2(x^2-4x+8)=\sin\frac{\pi x}{4}+\cos \pi x\)
9. Найдите все значения \(x\), при которых выполняется равенство \(\cos 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x\)
10. Найдите все корни уравнения \(\frac{ctg 2x}{ctg x}+\frac{ctg x}{ctg 2x}+3=\frac{\sqrt{2\pi x-x^2}}{\sqrt{2\pi x-x^2}}\)
11. При каких \(x\) высказывание \(\sin x+\sqrt{3}\cos x=\log_2 (2\pi -x)\cdot\frac{\log_72}{\log_7(2\pi -x)}\cdot\log_xx\) истинное?
12. Решите уравнение \(\sqrt{2}\cos (x+\frac{\pi}{4})=\sin x+|\cos x|\)
13. При каких значениях \(x\) значение функции \(y=\sqrt{3}|tg x|\) совпадает со значением функции \(y=2\sin^2 x\)?
14. Какие числа из промежутка \((3\pi/2; 2\pi )\) обращают в нуль функцию \(y=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x}}+\cos\frac{x}{2}\)?
15. Укажите абсциссы точек пересечения графиков функций \(y=\cos 2x-\sin 2x\) и \(y=-(\sqrt{1-x^2})^2-x^2\).
16. Найдите наименьший корень уравнения \(4\sin 3x\sin x+2\cos 2x=\frac{1-\log_7x}{\log_7\frac{x}{7}}\)

Ответы

1. \(\pi/2+k\pi, k \in Z\)
2. 0,2
3. \(\pi/6+2k\pi/3, \pi/14+2k\pi/7, k \in Z\)
4. \(\pi/4\)
5. 0
6. \(-3\pi/2\)
7. 2
8. 2
9. \(\pi/12+k\pi, -\pi/24+k\pi/2, k \in Z\)
10. \(\pi/3; 2\pi/3; 4\pi/3; 5\pi/3\)
11. \(\pi/2; 11\pi/6\)
12. \(2k\pi, 5\pi/4+2k\pi, k \in Z\)
13. \(k\pi, k \in Z\)
14. \((3\pi/2; 2\pi)\)
15. \(\pi/4\)
16. \(\pi/3\)