Методы интегрирования
перейти к содержанию справочника
Метод замены \(x=\varphi(t)\)
\(\int f(x)dx = \int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt\)
Формула интегрирования по частям
\(\int fdg = f\cdot g-\int gdf\)
или
\(\int fg’dx = f\cdot g-\int gf’dx\)
Интеграл от \(\displaystyle\frac{1}{(x^2+a^2)^n}\)
\(I_n=\int\displaystyle\frac{dx}{(x^2+a^2)^n}\), \(n\in{N}\), \(a\ne0\)
\(I_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2na^2}\left(\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+(2n-1)I_n\right)\)
Подстановки Эйлера
1) \(\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm\sqrt{a}x+z\), если \(a>0\)
2) \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xz\pm\sqrt{c}\), если \(c>0\)
3) \(\sqrt{a(x-x_1)(x-x_2)}=z(x-x_1)\)
Тригонометрические подстановки
\(\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx\) – замена \(x=a\sin{t}\)
\(\int R(x,\sqrt{a^2+x^2})dx\) – замена \(x=a\mathrm{tg}{t}\)
Интеграл от дифференциального бинома
\(\int x^m(a+bx^n)^pdx\)
\(m\), \(n\) и \(p\) – рациональные числа
1) Если \(p\) – целое число, то замена \(x=z^K\), где \(K\) – общий знаменатель дробей \(m\) и \(n\)
2) Если \(\displaystyle\frac{m+1}{n}\) – целое, то \(a+bx^n=z^K\), где \(K\) – знаменатель дроби \(p\)
3) Если \(\displaystyle\frac{m+1}{n}+p\) – целое, то \(ax^{-n}+b=z^K\), где \(K\) – знаменатель дроби \(p\)
Интегралы от тригонометрических функций
Интеграл вида \(\int R(\sin{x},\cos{x})dx\), где \(R\) – рациональная функция: в общем случае подстановка
\(\mathrm{tg}\displaystyle\frac{x}{2}=t\)
Частные случаи:
1) Если \(R(-\sin{x},\cos{x})=-R(\sin{x},\cos{x})\), то \(\cos{x}=t\).
2) Если \(R(\sin{x},-\cos{x})=-R(\sin{x},\cos{x})\), то \(\sin{x}=t\)
3) Если \(R(-\sin{x},-\cos{x})=R(\sin{x},\cos{x})\), то \(\mathrm{tg}{x}=t\)
Метод Остроградского
\(\int\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}dx=\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\int\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}dx\)
\(Q_2(x)\) – многочлен, имеющий те же корни, что и \(Q(x)\), но все эти корни простые
\(Q_1(x)=\displaystyle\frac{Q(x)}{Q_2(x)}\)
\(P_1(x)\), \(P_2(x)\) – многочлены, степени которых соответственно меньше степеней многочленов \(Q_1(x)\) и \(Q_2(x)\)
Интеграл от дроби \(\displaystyle\frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\)
\(\int\displaystyle\frac{P_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx\)=\(Q_{n-1}(x)\sqrt{ax^2+bx+c}\)+\(\lambda\int\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\), где \(P_n(x)\) – многочлен степени \(n\), \(Q_{n-1}(x)\) -многочлен степени \(n-1\).
Интеграл от дроби \(\displaystyle\frac{1}{(x+a)^m(x+b)^n}\), \(n,m\in{N}\)
Замена \(\displaystyle\frac{x+a}{x+b}=t\)