Методы интегрирования

перейти к содержанию справочника

Метод замены \(x=\varphi(t)\)

\(\int f(x)dx = \int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt\)

Формула интегрирования по частям

\(\int fdg = f\cdot g-\int gdf\)

или

\(\int fg’dx = f\cdot g-\int gf’dx\)

Подстановки Эйлера

1) \(\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm\sqrt{ax}+z\), если \(a>0\)

2) \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xz\pm\sqrt{c}\), если \(c>0\)

3) \(\sqrt{a(x-x_1)(x-x_2)}=z(x-x_1)\)

Тригонометрические подстановки

\(\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx\) – замена \(x=a\sin{t}\)

\(\int R(x,\sqrt{a^2+x^2})dx\) – замена \(x=a\mathrm{tg}{t}\)

Интеграл от дифференциального бинома

\(\int x^m(a+bx^n)^pdx\)

\(m\), \(n\) и \(p\) – рациональные числа

1) Если \(p\) – целое число, то замена \(x=z^K\), где \(K\) – общий знаменатель дробей \(m\) и \(n\)

2) Если \(\displaystyle\frac{m+1}{n}\) – целое, то \(a+bx^n=z^K\), где \(K\) – знаменатель дроби \(p\)

3) Если \(\displaystyle\frac{m+1}{n}+p\) – целое, то \(ax^{-n}+b=z^K\), где \(K\) – знаменатель дроби \(p\)

Интегралы от тригонометрических функций

Интеграл вида \(\int R(\sin{x},\cos{x})dx\), где \(R\) – рациональная функция: в общем случае подстановка

\(\mathrm{tg}\displaystyle\frac{x}{2}=t\)

Частные случаи:

1) Если \(R(-\sin{x},\cos{x})=-R(\sin{x},\cos{x})\) или \(R(\sin{x},-\cos{x})=-R(\sin{x},\cos{x})\), то \(\cos{x}=t\) или \(\sin{x}=t\)

2) Если \(R(-\sin{x},-\cos{x})=R(\sin{x},\cos{x})\), то \(\mathrm{tg}{x}=t\)