Определенный интеграл

перейти к содержанию справочника

Формула Ньютона-Лейбница

 \(\int\limits_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)\)
где \(F(x)\) – первообразная функции \(f(x)\)

Свойства определенного интеграла

1. \(\int\limits_{a}^{b}(\alpha f(x)\pm\beta g(x))dx=\alpha\int\limits_a^{b}f(x)dx\pm\beta\int\limits_{a}^{b}g(x)dx\)
2. \(\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_a^{c}f(x)dx+\int\limits_{c}^{b}f(x)dx\)
3. \(\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=-\int\limits_b^{a}f(x)dx\)
4. \(\int\limits_{a}^{a}f(x)dx=0\)
5. Если \(y=f(x)\) четная функция, то \(\int\limits_{-a}^{a}f(x)dx=2\int\limits_{0}^{a}f(x)dx\)
6. Если \(y=f(x)\) нечетная функция, то \(\int\limits_{-a}^{a}f(x)dx=0\)
7. Если \(f(x)\le g(x)\) и \(a<b\), то \(\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\le\int\limits_{a}^{b}g(x)dx\)
8. Если \(f(x)\ge0\) и \(a<b\), то \(\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\ge0\)
9. Если \(A\le f(x)\le B\) и \(a<b\), то \(A(b-a)\le\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\le B(b-a)\)
10. \(|\int\limits_{a}^{b}f(x)dx|\le\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx\), \(a<b\)
11. Если \(|f(x)|\le M\), то \(|\int\limits_{a}^{b}f(x)dx|\le M|b-a|\)

Среднее значение функции

\(A=\displaystyle\frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\)

Теорема Барроу

Если \(y=f(x)\) непрерывна, то \((\int\limits_{a}^{x}f(t)dt)’=f(x)\)