Применение определенного интеграла

перейти к содержанию справочника

Площадь криволинейной трапеции

Если \(f(x)\ge0\), то \(S=\int\limits_a^{b}f(x)dx\)

Площадь фигуры, ограниченной линиями \(y=f(x)\), \(y=g(x)\), \(x=a\), \(x=b\)

 \(S=\int\limits_a^{b}|f(x)-g(x)|dx\)

Площадь криволинейного сектора в полярных координатах

\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\int\limits_{\alpha}^{\beta}r^2(\varphi) d\varphi\)

Объем фигуры через площади попереченых сечений

\(V=\int\limits_a^{b}S(x)dx\)

Объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции

Вокруг оси \(Ox\): \(V=\pi\int\limits_a^{b}f^2(x)dx\)

Вокруг оси \(Oy\): \(V=2\pi\int\limits_a^{b}xf(x)dx\)

Длина кривой \(y=f(x)\), \(a\le x\le b\)

\(L=\int\limits_a^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\)

Длина кривой на плоскости, заданной параметрически

\(x=x(t)\), \(y=y(t)\), \(\alpha\le t\le\beta\)

\(L=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt\)

Длина кривой в пространстве, заданной параметрически

\(x=x(t)\), \(y=y(t)\), \(z=z(t)\), \(\alpha\le t\le\beta\)

\(L=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}dt\)

Длина кривой в полярных координатах

\(r=r(\varphi)\), \(\alpha\le\varphi\le\beta\)

\(L=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(r(\varphi))^2+(r'(\varphi))^2}d\varphi\)

Площадь поверхности фигуры вращения

Вращение кривой \(y=f(x)\), \(a\le x\le b\) вокруг оси \(Ox\)

\(S=2\pi\int\limits_a^{b}f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\)

Вращение кривой \(x=x(t)\), \(y=y(t)\), \(\alpha\le t\le\beta\) вокруг оси \(Ox\)

\(S=2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}y(t)\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt\)

Центр масс кривой \(y=f(x)\), \(a\le x\le b\), \(p=p(x)\) – плотность кривой

Масса \(m=\int\limits_a^{b}p(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\)

Статический момент относительно оси \(Ox\) \(M_x=\int\limits_a^{b}p(x)f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\)

Статический момент относительно оси \(Oy\) \(M_y=\int\limits_a^{b}p(x)x\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\)

Координаты центра масс

\(x_0=\displaystyle\frac{M_y}{m}\) \(\quad\) \(y_0=\displaystyle\frac{M_x}{m}\)

Центр масс криволинейной трапеции (плотность \(p\) постоянна)

Масса \(m=p\int\limits_a^{b}f(x)dx\)

Статический момент относительно оси \(Ox\) \(M_x=\displaystyle\frac{p}{2}\int\limits_a^{b}f^2(x)dx\)

Статический момент относительно оси \(Oy\) \(M_y=p\int\limits_a^{b}xf(x)dx\)

Координаты центра масс

\(x_0=\displaystyle\frac{M_y}{m}\) \(\quad\)  \(y_0=\displaystyle\frac{M_x}{m}\)

Физические приложения определенного интеграла

Путь, пройденный телом со скоростью \(v=v(t)\) за промежуток времени \([t_1;t_2]\)

\(S=\int\limits_{t_1}^{t_2}v(t)dt\)

Работа переменной силы, заданной функцией \(y=F(x)\) и направленной вдоль оси \(Ox\) на отрезке \([a;b]\)

\(A=\int\limits_{a}^{b}F(x)dx\)