Справочник по математике
Применение производной функции
Уравнение касательной
Если функция \(y=f(x)\) имеет производную в точке \(x_0\), то уравнение касательной в точке \(A(x_0; f(x_0))\) имеет вид
\(y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)\)
Уравнение нормали
\(y=f(x_0)-\displaystyle\frac{1}{f'(x_0)}\cdot (x-x_0)\)
Монотонность функции
Для того чтобы дифференцируемая на \((a;b)\) функция \(y=f(x)\) не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы \(f'(x)\geq 0\) \((f'(x)\leq 0)\) для всех \(x\) из интервала \((a;b)\). Если же для любого \(x\) из \((a;b)\) известно, что \(f'(x)>0\) \((f'(x)<0)\), то функция \(y=f(x)\) возрастает (убывает) на этом интервале.
Экстремумы функции
Критические точки – внутренние точки области определения, в которых производная не существует или равна нулю
Теорема Ферма. Если \(x_0\) – точка экстремума функции \(y=f(x)\) и в этой точке существует производная, то \(f'(x)=0\)
Первое достаточное условие экстремума
Пусть функция \(y=f(x)\) определена на интервале \((a;b)\) и непрерывная в точке \(x_0\) из этого интервала. Тогда:
а) Если \(f'(x)>0\) на \((a;x_0)\) и \(f'(x)<0\) на \((x_0;b)\), то точка \(x_0\) является точкой максимума
б) Если \(f'(x)<0\) на \((a;x_0)\) и \(f'(x)>0\) на \((x_0;b)\), то точка \(x_0\) является точкой минимума
Кратко: Если в точке \(x_0\) производная меняет знак с плюса на минус, то \(x_0\) есть точка максимума. Если с минуса на плюс, то \(x_0\) есть точка минимума.
Второе достаточное условие экстремума
Если функция \(y=f(x)\) в некоторой окрестности точки \(x_0\) имеет непрерывную вторую производную и \(f'(x_0)=0\), \(f”(x_0)\ne0\), то \(x_0\) – точка экстремума, причем точка максимума, если \(f”(x_0)<0\), и точка минимума, если \(f”(x_0)>0\)
Выпуклость функции
Если функция \(y=f(x)\) в каждой точке из \((a,b)\) имеет непрерывную вторую производную и \(f”(x)\ne0\), то на этом промежутке функция выпуклая, причем если \(f”(x)<0\), то выпуклая вверх, а если \(f”(x)>0\), то выпуклая вниз
Необходимое условие точки перегиба
Если \(x_0\) – точка перегиба, то \(f”(x_0)=0\) или \(f”(x_0)\) не существует