Справочник. Применение производной функции

Справочник по математике

Применение производной функции

к содержанию справочника

Уравнение касательной

Если функция \(y=f(x)\) имеет производную в точке \(x_0\), то уравнение касательной в точке \(A(x_0; f(x_0))\) имеет вид

\(y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)\)

Уравнение нормали

\(y=f(x_0)-\displaystyle\frac{1}{f'(x_0)}\cdot (x-x_0)\)

Монотонность функции

Для того чтобы дифференцируемая на \((a;b)\) функция \(y=f(x)\) не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы \(f'(x)\geq 0\) \((f'(x)\leq 0)\) для всех \(x\) из интервала \((a;b)\). Если же для любого \(x\) из \((a;b)\) известно, что \(f'(x)>0\)  \((f'(x)<0)\), то функция \(y=f(x)\) возрастает (убывает) на этом интервале.

 Экстремумы функции

Критические точки – внутренние точки области определения, в которых производная не существует или равна нулю

Теорема Ферма. Если \(x_0\) – точка экстремума функции \(y=f(x)\) и в этой точке существует производная, то \(f'(x)=0\)

Первое достаточное условие экстремума

Пусть функция \(y=f(x)\) определена на интервале \((a;b)\) и непрерывная в точке \(x_0\) из этого интервала. Тогда:
а) Если \(f'(x)>0\) на \((a;x_0)\) и \(f'(x)<0\) на \((x_0;b)\), то точка \(x_0\) является точкой максимума
б) Если \(f'(x)<0\) на \((a;x_0)\) и \(f'(x)>0\) на \((x_0;b)\), то точка \(x_0\) является точкой минимума

Кратко: Если в точке \(x_0\) производная меняет знак с плюса на минус, то \(x_0\) есть точка максимума. Если с минуса на плюс, то \(x_0\) есть точка минимума.

Второе достаточное условие экстремума

Если функция \(y=f(x)\) в некоторой окрестности точки \(x_0\) имеет непрерывную вторую производную и \(f'(x_0)=0\), \(f”(x_0)\ne0\), то \(x_0\) – точка экстремума, причем точка максимума, если \(f”(x_0)<0\), и точка минимума, если \(f”(x_0)>0\)

Выпуклость функции

Если функция \(y=f(x)\) в каждой точке из \((a,b)\) имеет непрерывную вторую производную и \(f”(x)\ne0\), то на этом промежутке функция выпуклая, причем если \(f”(x)<0\), то выпуклая вверх, а если \(f”(x)>0\), то выпуклая вниз

 Необходимое условие точки перегиба

Если \(x_0\) – точка перегиба, то \(f”(x_0)=0\) или \(f”(x_0)\) не существует