Демонстрационный вариант
контрольных измерительных материалов
единого государственного экзамена 2017 года
по математике
Профильный уровень

При ознакомлении с демонстрационным вариантом контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2017 г. следует иметь в виду, что задания, включённые в него, не отражают всех вопросов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2017 г. Полный перечень вопросов, которые могут контролироваться на едином государственном экзамене 2017 г., приведён в кодификаторе элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников образовательных организаций для проведения единого государственного экзамена 2017 г. по математике.
Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность любому участнику ЕГЭ и широкой общественности составить
представление о структуре будущих КИМ, количестве заданий, об их форме и уровне сложности. Приведённые критерии оценки выполнения заданий с развёрнутым ответом, включённые в этот вариант, дают представление о требованиях к полноте и правильности записи развёрнутого ответа.
Эти сведения позволят выпускникам выработать стратегию подготовки к ЕГЭ.

Условия задач

Часть 1

1. Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут (время московское) и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?
2. На рисунке точками показана средняя температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 г. По горизонтали указаны номера месяцев; по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.  Сколько месяцев средняя температура была больше 18 градусов Цельсия? 
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён треугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в см². 
4. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.
5. Найдите корень уравнения $3^{x-5}=81$
6. Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Угол BAC равен 32^o. Найдите угол BOC . Ответ дайте в градусах.
7. На рисунке изображён график дифференцируемой функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены девять точек: $x_1,x_2,...,x_9$.  Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции $y=f(x)$ отрицательна. В ответе укажите количество этих точек. 
8. В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ выразите в см.
   Часть 2
9. Найдите $\sin2\alpha$, если $\cos\alpha = 0,6$ и $\pi<\alpha<2\pi$.
10. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением $v = c\cdot\displaystyle\frac{f-f_0}{f+f_0}$, где $c=1500$ м/c  — скорость звука в воде; $f_o$ — частота испускаемого сигнала (в МГц); $f$ — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.
11. Весной катер идёт против течения реки в $1\displaystyle\frac{2}{3}$ раза медленнее, чем по течению.Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в $1\displaystyle\frac{1}{2}$ раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).
12. Найдите точку максимума функции $y=ln(x+4)^2+2x+7$
13. а) Решите уравнение $\cos2x=1-\cos(\frac{\pi}{2}-x)$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-\frac{5\pi}{2};-\pi)$.
14. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA₁ и A₁C ₁ соответственно.
    а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
    б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB_1.
15. Решите неравенство $\displaystyle\frac{9^x-2\cdot3^{x+1}+4}{3^x-5}+\frac{2\cdot3^{x+1}-51}{3^x-9}\le3^x+5$
16. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
    а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
    б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
17. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев
    в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:
    — 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов
    по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
    — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
    — 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей   Найдите наибольшее значение r , при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
18. Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых система $\left\{\begin{array}{l l} (|x|-5)^2+(y-4)^2=9,\\ (x+2)^2+y^2=a^2\end{array}\right.$ имеет единственное решение.
19. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8.
    а) Сколько чисел написано на доске?
    б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
    в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

смотрите также Демо ЕГЭ 2017 Базовый уровень

Ответы

1. 8
2. 4
3. 6
4. 0,08
5. 9
6. 64
7. 4
8. 4
9. -0,96
10. 751
11. 5
12. -5
13. а) $\pi n, n\in Z, (-1)^k\pi/6+\pi k, k\in Z$ б) $-2\pi; -11\pi/6; -7\pi/6$
14. б) $\arcsin\sqrt{3/8}$
15. $(-\infty;1]; (\log_35;2)$
16. 3,2
17. 7
18. $2; \sqrt{65}+3$
19. а) 44; б) отрицательных; в) 17.