7 класс

1. Найдите какие-нибудь три последовательных натуральных числа, меньших 1000, произведение которых делится на 9999.
2. Одно из измерений прямоугольника увеличили на 99 см, а другое – уменьшили на 1 см, и получили новый прямоугольник. Можно ли утверждать, что площадь прямоугольника увеличилась? Ответ обоснуйте.
3. В конце каждого урока физкультуры учитель проводит забег и даёт победителю забега четыре конфеты, а всем остальным ученикам – по одной. К концу четверти Петя заслужил 29 конфет, Коля – 32, а Вася – 37 конфет. Известно, что один из них пропустил ровно один урок физкультуры, участвуя в олимпиаде по математике, остальные же уроков не пропускали. Кто из детей пропустил урок? Объясните свой ответ. 
4. Одиннадцать семиклассников встали в круг. Они договорились, что некоторые из них всегда говорят правду, а все другие – всегда лгут. Каждому из них раздали по две карточки, и каждый сказал: «У меня карточки одного цвета», после чего каждый передал обе свои карточки своему соседу справа. Могли ли они все после этого сказать: «У меня теперь карточки разных цветов»?
5. На шахматной доске расставлено 8 ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что в левой нижней четверти (квадрат 4×4) находится столько же ладей, сколько в правой верхней четверти.

8 класс

1. Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а второй уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2013. Как изменится произведение исходных чисел, если, наоборот, первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1?
2. Перемножили несколько натуральных чисел и получили 224, причем самое маленькое число было ровно вдвое меньше самого большого. Сколько чисел перемножили?
3. Прогульщик Вася в каждый понедельник сентября некоторого года пропускал по одному уроку, в каждый вторник – по два урока, в каждую пятницу – по пять уроков. Могло ли оказаться так, что за весь сентябрь он пропустил ровно 64 урока? (Все субботы и воскресенья сентября были выходными, а остальные дни – учебными).
4. Существует ли равнобедренная трапеция, диагональ которой делит ее на два равнобедренных треугольника?
5. На шахматной доске расставлены 8 ладей так, что они не бьют друг друга. Докажите, что на полях белого цвета расположено чётное число ладей.

9 класс

1. Ненулевые числа $x$, $y$, $z$, $t$ таковы, что $(x+\frac{1}{yzt})(y+\frac{1}{xzt})(z+\frac{1}{yxt})(z+\frac{1}{yzx})>0$. Доказать, что $xyzt>0$.
2. Из произведения трех последовательных натуральных чисел вычли их сумму и получили нечетное число N . Докажите, что число N является произведением каких-то трех последовательных нечетных чисел.
3. Учитель дал задание: использовав ровно по одному разу цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, написать несколько простых чисел и найти их сумму. Какое наименьшее значение этой суммы могло получиться у учеников?
4. В треугольнике ABC угол С равен 135°. На стороне AB вне треугольника построен квадрат с центром О. Найдите ОС, если AB равно 6.
5. На городской олимпиаде по математике каждому участнику присваивается шифр – произвольное число, оканчивающееся номером класса, в котором он учится. В олимпиаде по 6 и 7 классам приняли участие 75 детей, и оказалось, что сумма шифров шестиклассников равна сумме шифров семиклассников. На следующий год в олимпиаде по 7 и 8 классам приняли участие эти же 75 ребят. Могут ли суммы шифров этих теперь уже семи- и восьмиклассников опять оказаться равными? Обоснуйте свой ответ. Шифры следующего года не связаны с шифрами предыдущего.

10 класс

1. Известно, что уравнение $x^4 + a = 0$  ($x$ – переменная, $a$ – некоторое число) имеет два различных корня. Сколько корней имеет уравнение $x^4 + a = x^2$?
2. Числа написаны в строчку, причём сумма любых трёх стоящих рядом чисел отрицательна, а сумма любых четырёх стоящих рядом чисел положительна. При каком наибольшем количестве чисел такое возможно?
3. Найдите все тройки различных простых чисел, попарные разности которых (из большего числа вычитается меньшее) – также три простых числа.
4. Какое наибольшее количество фишек можно поставить на шахматную доску, чтобы любая фишка могла перепрыгнуть через какую-то другую фишку на симметричное поле (симметричное поле должно быть свободным).
5. На сторонах BC и BA треугольника ABC выбраны точки A₁ и C₁ соответственно так, что угол BAA₁ равен углу BCC₁ . Биссектриса BL треугольника ABC пересекает отрезок A₁C₁ в точке K . Докажите, что A₁K·CL= C₁K ·AL.

11 класс

1. Докажите, что для любых действительных чисел $x$ и $y$ выполнено неравенство $x^2+y^2+1 \geq xy+x+y$.
2. Бесконечная арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит число $a$ и его квадрат. Докажите, что она также содержит и куб числа $a$.
3. Квадратный трёхчлен f (x) таков, что каждое из уравнений f (x) = x-1 и f (x) = 2-2x имеют ровно по одному решению. Докажите, что трёхчлен f(x) не имеет корней.
4. Пусть α, β, γ – плоские углы трехгранного угла. Докажите, что числа sin(α/2), sin(β/2), sin (γ/2) являются длинами сторон некоторого треугольника.
5. В клетках квадрата 7×7 расставлены действительные числа. Оказалось, что сумма чисел в любом трёхклеточном уголке (повёрнутом как угодно) положительна. Обязательно ли сумма чисел во всем квадрате также положительна?