Вариант вступительных экзаменов по математике в Московский государственный авиационный институт

МГАИ, 1997 г.

1. Решите уравнение $\cos (x-\frac{\pi}{2})\sin\frac{\pi}{6}-\cos x\cos\frac{7\pi}{6}=0$
2. Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l l} x^2+x+y=3,\\ \frac{y}{x}-x=0 \end{array}\right.$
3. Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна S, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен $\alpha$. Найдите сторону основания.
4. Решите неравенство $\frac{6}{|x-2|}\leq \frac{x-12}{x^2-4}+\frac{|x|}{x+2}$.
5. Найдите все значения $a$, при которых среди решений неравенства $((x-a)^2+y^2-4)(x^2+(y-a)^2-4)\leq 0$ есть хотя бы одна пара $(x; y)$, удовлетворяющая уравнению $|x|+|y|=1$.
6. Все стороны четырехугольника ABCD различны по длине. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке М, а N - середина отрезка, соединяющего середины сторон АВ и CD. Какие значения может принимать отношение DM : DN?

Ответы

1. $2\pi/3+n\pi, n\in Z$
2. (1; 1), (-1,5; 2,25)
3. $\sqrt{2S\cos\alpha}/(\sqrt[4]{3}\cos\frac{\alpha}{2})$
4. $(-2; 0]\cup [(7+\sqrt{145})/2; +\infty)$
5. [-3; -1]U[1;3]
6. 4/3