Студенческая олимпиада МФТИ 1993

Условия задач с ответами

1.1 Найдите наибольшее значение функции $f=|x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3-x_2x_4|$ на единичном кубе $\{x\in R^4| |x_k|\le1,1\le k\le4\}$ .

1.2 Найдите решение матричного дифференциального уравнения $\displaystyle\frac{dX}{dt}=AX+XB$ , где $A,B$ - постоянные матрицы порядка $n$ , удовлетворяющие условию $X(0)=E$ .

2. В квадратной матрице $A$ порядка $2n$ на главной диагонали стоят нули, а остальные элементы равны $\pm1$ . Докажите, что $detA\ne0$ .

3. Частица движется из точки А в точку B по прямой, не меняя направления движения. Расстояние $AB=1$ , время движения равно 1, в начальный и конечный моменты времени движения скорость равна нулю. Докажите, что в некоторый момент времени абсолютная величина ускорения частицы равна 4.

4.1 Существует ли непрерывная функция $f:R\to R$ , принимающая рациональные значения в иррациональных точках и иррациональные значения в рациональных точках?

4.2 Докажите, что функция $T(x)=\displaystyle\frac{a_0}{2}+\cos x+\sum_{k=2}^{\infty}a_k\cos(kx)$ , где $|a_0|<1$ , принимает как положительные, так и отрицательные значения.

5.1 Пусть A и B - замкнутые выпуклые множества на плоскости. Следует ли отсюда, что их сумма $A+B = \{x\in R^2|x=a+b,a\in A,b\in B\}$ тоже замкнутое множество?

5.2 Известно, что все корни полинома $P(z)=z^n+c_1z^{n-1}+...+c_n$ с комплексными коэффициентами - чисто мнимые. Докажите, что при любом действительном $x$ выполнено неравенство $|\displaystyle\frac{2xP'(x)}{P(x)}-n|\le n$ .