Студенческая олимпиада МФТИ 1993
Условия задач с ответами
1.1 Найдите наибольшее значение функции \(f=|x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3-x_2x_4|\) на единичном кубе \(\{x\in R^4| |x_k|\le1,1\le k\le4\}\).
1.2 Найдите решение матричного дифференциального уравнения \(\displaystyle\frac{dX}{dt}=AX+XB\), где \(A,B\) – постоянные матрицы порядка \(n\), удовлетворяющие условию \(X(0)=E\).
2. В квадратной матрице \(A\) порядка \(2n\) на главной диагонали стоят нули, а остальные элементы равны \(\pm1\). Докажите, что \(detA\ne0\).
3. Частица движется из точки А в точку B по прямой, не меняя направления движения. Расстояние \(AB=1\), время движения равно 1, в начальный и конечный моменты времени движения скорость равна нулю. Докажите, что в некоторый момент времени абсолютная величина ускорения частицы равна 4.
4.1 Существует ли непрерывная функция \(f:R\to R\), принимающая рациональные значения в иррациональных точках и иррациональные значения в рациональных точках?
4.2 Докажите, что функция \(T(x)=\displaystyle\frac{a_0}{2}+\cos x+\sum_{k=2}^{\infty}a_k\cos(kx)\), где \(|a_0|<1\), принимает как положительные, так и отрицательные значения.
5.1 Пусть A и B – замкнутые выпуклые множества на плоскости. Следует ли отсюда, что их сумма \(A+B = \{x\in R^2|x=a+b,a\in A,b\in B\}\) тоже замкнутое множество?
5.2 Известно, что все корни полинома \(P(z)=z^n+c_1z^{n-1}+…+c_n\) с комплексными коэффициентами – чисто мнимые. Докажите, что при любом действительном \(x\) выполнено неравенство \(|\displaystyle\frac{2xP'(x)}{P(x)}-n|\le n\).
6.1 Можно ли число \(\pi\) представить как \(\lim_{n\to\infty}(\sqrt{k_n}-\sqrt{m_n})\), где \(\{k_n\},\{m_n\}\) – последовательности натуральных чисел?
6.2 Докажите, что при \(a>1\) справедливо равенство \(\int_{0}^{\pi/2}\cos(ax)\cdot(\cos x)^{a-2}dx=0\).
1.1 2
1.2 \(X=e^{At}e^{Bt}\)
4.1 Нет
5.1 Нет
6.1 Да
к разделу Олимпиадные студенческие задачи