Тригонометрические формулы

содержание справочника

Основные тригонометрические тождества

1. $\sin^2 x+\cos^2 x=1$
2. $\mathrm{tg} x\cdot \mathrm{ctg} x=1$
3. $\mathrm{tg} x=\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}$
4. $\mathrm{ctg} x=\displaystyle\frac{\cos x}{\sin x}$
5. $1+\mathrm{tg}^2 x=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}$
6. $1+\mathrm{ctg}^2 x=\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x}$

Формулы сложения

7. $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
8. $\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$
9. $\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$
10. $\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$
11. $\mathrm{tg} (x+y)=\displaystyle\frac{\mathrm{tg} x+\mathrm{tg} y}{1-\mathrm{tg} x \cdot\mathrm{tg} y}$
12. $\mathrm{tg} (x-y)=\displaystyle\frac{\mathrm{tg} x-\mathrm{tg} y}{1+\mathrm{tg} x\cdot \mathrm{tg} y}$
13. $\mathrm{ctg} (x+y)=\displaystyle\frac{\mathrm{ctg} x\cdot \mathrm{ctg} y-1}{\mathrm{ctg} y +\mathrm{ctg} x}$
14. $\mathrm{ctg} (x-y)=\displaystyle\frac{\mathrm{ctg} x\cdot \mathrm{ctg} y+1}{\mathrm{ctg} y-\mathrm{ctg} x}$

Формулы тригонометрических функций двойного аргумента

15. $\sin 2x=2\sin x\cos x$
16. $\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$
17. $\cos 2x=2\cos^2 x-1$
18. $\cos 2x=1-2\sin^2 x$
19. $\sin 2x=\displaystyle\frac{2\mathrm{tg} x}{1+\mathrm{tg}^2 x}$
20. $\cos 2x=\displaystyle\frac{1-\mathrm{tg}^2 x}{1+\mathrm{tg}^2 x}$
21. $\mathrm{tg} 2x=\displaystyle\frac{2\mathrm{tg} x}{1-\mathrm{tg}^2 x}$
22. $\mathrm{ctg} 2x=\displaystyle\frac{\mathrm{ctg}^2 x-1}{2\mathrm{ctg} x}$
23. $(\sin x\pm\cos x)^2=1\pm\sin 2x$
24. $\mathrm{tg} x=\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}$

Формулы понижения степени

25. $\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$
26. $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$
27. $\mathrm{tg}^2 x=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$
28. $\sin^4x=\frac{1}{8}(3-4\cos 2x+\cos 4x)$
29. $\cos^4x=\frac{1}{8}(3+4\cos 2x+\cos 4x)$

Формулы тройного аргумента

30. $\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x$
31. $\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x$
32. $\mathrm{tg} 3x=\displaystyle\frac{3\mathrm{tg} x-\mathrm{tg}^3 x}{1-3\mathrm{tg}^2 x}$

Преобразование сумм и разностей

33. $\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$
34. $\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$
35. $\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$
36. $\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$
37. $\mathrm{tg} x+\mathrm{tg} y=\displaystyle\frac{\sin (x+y)}{\cos x\cos y}$
38. $\mathrm{tg} x-\mathrm{tg} y=\displaystyle\frac{\sin (x-y)}{\cos x\cos y}$
39. $\mathrm{ctg} x+\mathrm{ctg} y=\displaystyle\frac{\sin (x+y)}{\sin x\sin y}$
40. $\mathrm{ctg} x-\mathrm{ctg} y=-\displaystyle\frac{\sin (x-y)}{\sin x\sin y}$
41. $a\sin x+b\cos x=\sqrt{x^2+b^2}\sin (x+\alpha)$, где $\alpha$ - угол, для которого $\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Преобразование произведения

42. $\sin x\sin y=\frac{1}{2}(\cos (x-y)-\cos (x+y))$
43. $\sin x\cos y=\frac{1}{2}(\sin (x-y)+\sin (x+y))$
44. $\cos x\cos y=\frac{1}{2}(\cos (x-y)+\cos (x+y))$