СУНЦ МГУ

Выездной экзамен по математике для физ-мат 10 класс 2017

Весна, 2017 г

Условия задач с ответами

Вариант 1

1. Когда Петя начал решать задачи вступительного экзамена, часовая и минутная стрелка образовывали острый угол $\alpha$. Через 2 часа экзамен закончился и Петя заметил, что стрелки снова образуют угол, равный $\alpha$. При каком $\alpha$ такое возможно?
2. Сколько существует натуральных b, таких, что уравнение x²-bx+80080=0 имеет два целых корня?
3. Три числа a, b, c являются в указанном порядке последовательными членами
   геометрической прогрессии, причем a+b+c = 26 и ab + bc + ac = 156. Найдите b.
4. В трапеции ABCD основание ВС=а, основание AD=3a, угол ADC равен 67,5^o. Найдите площадь трапеции, если известно, что биссектриса угла CAD пересекает отрезок CD в его середине.
5. На графике квадратичной функции y=3x²+12x+2017 отмечены две различные точки А и В с целыми координатами Докажите, что если длина отрезка AB - целое число, то он параллелен оси Ox.

Вариант 2

1. Когда Коля начал решать задачи вступительного экзамена, часовая и минутная стрелка образовывали тупой угол $\alpha$. Через 2 часа экзамен закончился и Коля заметил, что стрелки снова образуют угол, равный $\alpha$. При каком $\alpha$ такое возможно?
2. Сколько существует натуральных a, таких, что уравнение x²-ax+50050=0 имеет два целых корня?
3. Три числа a, b, c являются в указанном порядке последовательными членами
   геометрической прогрессии, причем a+b+c = 28 и ab + bc + ac = 196. Найдите b.
4. В трапеции ABCD основание ВС=а, основание AD=4a, угол ACD равен 75^o. Найдите площадь трапеции, если известно, что биссектриса угла CAD перпендикулярна стороне CD.
5. На графике квадратичной функции y=5x²+10x+2017 отмечены две различные точки P и Q с целыми координатами Докажите, что если длина отрезка PQ - целое число, то он параллелен оси Ox.

Ответы

Вариант 1

1. 30^o
2. 40
3. b=6
4. $3\sqrt{2}a^2$

Вариант 2

1. 150^o
2. 24
3. b=7
4. $5a^2$

смотрите еще Вступительные экзамены и МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013