Текстовые задачи. Прогрессии и ряды

перейти к содержанию курса текстовых задач

1. Сумма второго и четвертого членов арифметической прогрессии равна 16, а произведение первого и пятого ее членов равно 64. Найдите первый член этой прогрессии и ее разность. Решение

2. Найдите количество всех трехзначных натуральных чисел, делящихся на 7. Решение
3. Фруктовый сад имеет форму правильного треугольника, причем в первом его ряду посажено 1 дерево, во втором – 2 дерева, в третьем – 3 дерева и так далее, в \(n\)-м ряду – \(n\) деревьев. Может ли такой сад быть из 105 деревьев? Решение
4. Найдите разность арифметической прогрессии, если ее первый член равен \(a\) и для каждого натурального числа \(n\) сумма ее первых \(n\) членов равна \(an^2\). Решение
5. Могут ли числа 10, 25 и 40 в указанном порядке быть членами некоторой арифметической прогрессии? Решение
6. Найдите в арифметической прогрессии \(a_7\), если \(a_n=22, n = a_1a_2\) и \(a_2+a_n=20\). Решение
7. Найдите \(2+4+6+…+(2n+2)\). Решение
8. Найдите сумму всех натуральных двузначных чисел, каждое из которых не делится ни на 2, ни на 13. Решение
9. Решите уравнение \((x+1)+(x+4)+…+(x+28)=155\). Решение
10. Геометрическая прогрессия, все члены которой положительны, такова, что \(b_{10}=2\) и \(b_{15}=3\). Найдите \(b_{16}\) и \(b_3b_{27}\) Решение
11. Сколько членов геометрической прогрессии нужно сложить, что получить сумму 3069, если \(b_1+b_5=51\) и \(b_2+b_6=106\)? Решение
12. Найдите четыре целых числа, первые три из которых образуют арифметическую прогрессию, а последние три – геометрическую прогрессию. Сумма крайних чисел равна 66, а сумма средних чисел – 60. Решение
13. Найдите сумму \(1\cdot2^2+2\cdot 3^2+3\cdot 4^2+…+(n-1)\cdot n^2\) Решение
14. Найдите сумму \(1+4+10+20+…+\frac{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}{1\cdot 2\cdot 3}\) Решение
15. Найдите сумму \(\frac{1}{2\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 8}+\frac{1}{8\cdot 11}+…+\frac{1}{(3n-1)\cdot (3n+2)}\) Решение
16. Найдите сумму \(1^3+2^3+3^3+…+n^3\) Решение
17. Найдите сумму \(\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}+…\) Решение

Задачи для самостоятельного решения

1. Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии, разность которой отлична от нуля, равна половине сумме следующих \(n\) членов. Найдите отношение суммы первых \(3n\) членов этой прогрессии к сумме ее первых \(n\) членов. Ответ: 6
2. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 13, а сумма квадратов этих же чисел равна 91. Найдите эти числа. Ответ: 9, 3, 1;  1, 3, 9
3. Найдите количество членов геометрической прогрессии, у которой отношение суммы последних четырнадцати членов к сумме первых четырнадцати членов равно 9, а отношение суммы всех членов без первых семи к сумме всех членов без последних семи равно 3. Ответ: 28
4. Первый член арифметической прогрессии равен \(1\), а сумма первых девяти членов равна 369. Первый и девятый члены геометрической прогрессии совпадают с первым и девятым членами арифметической прогрессии. Найдите седьмой член геометрической прогрессии. Ответ: 27
5. Найдите сумму \(\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}\)
6. Найдите сумму \(\frac{1\cdot 2}{2}+\frac{2\cdot 3}{2^2}+\frac{3\cdot 4}{2^3}+…+\frac{n(n-1)}{2^n}\)
7. Найдите \(3+33+333+…+33..33\), если последнее слагаемое содержит \(n\) цифр.
8. Найдите сумму \(1+7+19+…+(3n^2-3n+1)\)
9. Найдите сумму \(\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+4}+\frac{1}{n^2+9}+…+\frac{1}{n^2+(n-1)^2}\)
10. Найдите сумму \(1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\)