Теория чисел
Задачи 121-140
- Докажите, что для любых целых чисел и число делится на 3 тогда и только тогда, когда оба числа и делятся на 3.
- Докажите, что какими бы ни были целые числа и , хотя бы одно из чисел , , , , , делится на 5.
- Докажите, что среди семи натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию с разностью 30, ровно одно делится на 30.
- Докажите, что если делится на 7, то делится на 49.
- Докажите, что если делится на 7, то одно из чисел делится на 7.
- Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде суммы квадратов двух целых чисел.
- Докажите, что число вида при любом целом делится на 6
- Докажите, что если числа и не делятся на 3, но дают одинаковые остатки при делении на 3, то число делится на 3. Обратно, если делится на 3, то числа и не делятся на 3 и дают одинаковые остатки при делении на 3.
- Докажите, что если числа и не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3, то число делится на 3. Обратно, если делится на 3, то числа и не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3.
- Докажите, что если и - нечетные числа, то число делится на 8.
- Докажите, что квадрат нечетного числа, уменьшенный на 1, делится на 8.
- Докажите, что сумма квадратов двух последовательных целых чисел, уменьшенная на 1, делится на 4.
- Докажите, что при любом нечетном число делится на 24.
- Докажите, что для того чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра делилась на 2.
- Докажите, что для того что число делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы число, записываемое его двумя последними цифрами, делилось на 4.
- Докажите, что для того чтобы число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа была 0 или 5.
- Докажите, что для того чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы число, записываемое его тремя последними цифрами, делилось на 8.
- Докажите, что для того чтобы число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была 0.
- Докажите, что для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.
- Докажите, что при любых неотрицательных целых число делится на 16