Решебник домашнего задания урока 13 В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”
Задача 21
Рассмотрим решение задачи 21 домашнего задания 13 на тему: “Текстовые задачи. Движение”. Условие задачи:
Из пункта А в пункт В выезжает автомобиль и одновременно из В в А с меньшей скоростью выезжает мотоцикл. Через некоторое время они встречаются, и в этот момент из В в А выезжает второй мотоцикл, который встречается с автомобилем в точке, отстоящей от точки встречи автомобиля с первым мотоциклом на расстоянии, равном 2/9 пути от А до В. Если бы скорость автомобиля была на 20 км/ч меньше, то расстояние между точками встречи равнялось бы 72 км и первая встреча произошла бы через 3 часа после выезда автомобиля из пункта А. Найти длину пути от А до В (скорости мотоциклов одинаковы).
Ответ должен быть 300 км, что совпадет с нашим ответом.
Пусть на отрезке AB точка C – место встречи автомобиля с первым мотоциклом, точка D – место встречи со вторым мотоциклом. Причем точка D находится между точками C и B. Если AB = \(s\), скорость мотоцикла \(V_M\), скорость автомобиля \(V_A\), AC = \(x\), то CD = \(2s/9\), CB = \(s-x\) и DB = \(7s/9-x\). Так как по условию автомобиль и первый мотоцикл выехали одновременно, то \(\frac{x}{V_A}=\frac{s-x}{V_M}\). То есть затраченное время каждым одинаково на путь до встречи. Аналогично для автомобиля и второго мотоцикла с момента первой встречи автомобиля до второй встречи: \(\frac{2/9s}{V_A}=\frac{7/9s-x}{V_M}\).
Из первого уравнения выразим \(x = \frac{V_As}{V_A+V_M}\) и подставим во второе. После упрощения получаем \(\frac{2}{V_A}\cdot V_M=7-\frac{V_A}{V_A+V_M}\), то есть \(2V_A^2-5V_AV_M+2V_M^2=0\). Разделим левую и правую части уравнения на \(V_M^2\) и получим квадратное уравнение относительно \(\frac{V_A}{V_M}\): \(2(\frac{V_A}{V_M})^2-5\frac{V_A}{V_M}+2=0\). Находим, что \(\frac{V_A}{V_M}=2\) или \(\frac{V_A}{V_M}=\frac{1}{2}\). Так как по условию скорость мотоцикла меньше, то \(V_A=2V_M\).
Далее рассмотрим случай, когда скорость автомобиля на 20 меньше. Точки C и D будут иметь тот же смысл, что и в первом случае. Пусть AC = y, CD = 72, DB = s- y -72, CB = s – y. Тогда можно составить уравнения: \(\frac{y}{V_A-20}=3\), \(\frac{y}{V_A-20}=\frac{s-y}{V_M}\) и \(\frac{72}{V_A-20}=\frac{s-y-72}{V_M}\). Из первого и второго уравнений выражаем y и приравниваем: \(6(V_M-10)=\frac{2s(V_M-10)}{3V_M-20}\), откуда \(V_M=\frac{s+60}{9}\).
Далее в третье уравнение подставляем найденные выражения так, чтобы осталась только неизвестная s: \(\displaystyle\frac{36}{\frac{s+60}{9}-10}=\displaystyle\frac{s-6(\frac{s+60}{9}-10)-72}{\frac{s+60}{9}}\). Получаем \(\displaystyle\frac{36}{s-30}=\displaystyle\frac{9s-6s+180-648}{9(s+60)}\), откуда \(s^2-294s-1800=0\) и \(s=300\).
Список домашний заданий и их решений здесь. Спасибо за внимание.