VIII Олимпиада по криптографии и математике
список всех олимпиад по криптографии и математике
Задача 8.1
На рисунке изображена эмблема олимпиады. Она представляет собой замкнутую ленту, сложенную так, что образовавшиеся просветы являются одинаковыми равносторонними треугольниками. Если в некотором месте ленту разрезать перпендикулярно к ее краям и развернуть, то получится прямоугольник. Найдите минимальное отношение его сторон. 
Задача 8.2
Сообщение, составленное из нулей и единиц, шифруется двумя способами. При первом способе каждый нуль заменяется на последовательность из k1 нулей и следующих за ними k2 единиц, а каждая единица заменяется на последовательность из k3 нулей. При втором способе шифрования каждая единица заменяется на последовательность из k4 единиц и следующих за ними k5 нулей, а каждый нуль заменяется на последовательность из k6 нулей. При каких натуральных значениях ki, i = 1, 2, …, 6, найдется хотя бы одно сообщение, которое будет одинаково зашифровано обоими способами? Укажите общий вид таких сообщений.
Задача 8.3
Сообщение, подлежащее зашифрованию, представляет собой цифровую последовательность, составленную из дат рождения 6 членов оргкомитета олимпиады. Каждая дата представлена в виде последовательности из 8 цифр, первые две из которых обозначают день, следующие две – месяц, а остальные – год. Например, дата рождения великого математика Л. Эйлера 4 апреля 1707 года представляется в виде последовательности 04041707. Для зашифрования сообщения строится ключевая последовательность длины 48. Для ее построения все нечетные простые числа, меньшие 100, выписываются через запятую в таком порядке, что модуль разности любых двух соседних чисел есть та или
иная степень числа 2. При этом каждое простое число выписано ровно один раз, а числа 3, 5 и 7 записаны в виде 03, 05 и 07 соответственно.
Удалив запятые из записи этой последовательности, получим искомую ключевую последовательность.
При зашифровании цифровой последовательности, представляющей сообщение, ее цифры почленно складываются с соответствующими цифрами ключевой последовательности, при этом каждая полученная сумма заменяется ее остатком от деления на 10. В результате зашифрования сообщения получена последовательность:
150220454213266744305682533362327363924975709849
Определите даты рождения членов оргкомитета олимпиады
Задача 8.4
Квадрат размера 13×13 разбит на клетки размера 1×1. В начальный момент некоторые клетки окрашены в черный цвет, а остальные – в белый. По клеткам квадрата прыгает Криптоша. В момент попадания Криптоши в очередную клетку происходит изменение цвета на противоположный у всех тех клеток, расстояния от центров которых до центра клетки с Криптошей есть натуральные числа. После того как Криптоша побывал в каждой клетке квадрата ровно 1999 раз, квадрат оказался раскрашенным так, как показано на рисунке.
Восстановите цвет всех клеток квадрата в начальный момент. 
Задача 8.5
Для всех действительных чисел \(a, b\) решите уравнение
\(\displaystyle\frac{a}{1-bx}=\frac{b}{1-ax}\)
Задача 8.6
Разложите число 230 + 1 на простые сомножители.