Всероссийская олимпиада школьников
2016-2017 9 класс
Заключительный этап
- В стране некоторые пары городов соединены односторонними прямыми авиарейсами (между любыми двумя городами есть не более одного рейса). Скажем, что город A доступен для города B, если из B можно долететь в A, возможно, с пересадками. Известно, что для любых двух городов P и Q существует город R, для которого и P, и Q доступны. Докажите, что существует город, для которого доступны все города страны. (Считается, что из города можно долететь до него самого.)
- Дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Окружность ω проходит через вершины B и C и вторично пересекает сторону AB и диагональ BD в точках X и Y соответственно. Касательная, проведенная к окружности ω в точке C, пересекает луч AD в точке Z. Докажите, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой.
- Сто гномов, веса которых равны 1, 2, 3, . . . , 100 фунтов, собрались на левом берегу реки. Плавать они не умеют, но на этом же берегу находится гребная лодка грузоподъемностью 100 фунтов. Из-за течения плыть обратно трудно, поэтому у каждого гнома хватит сил грести с правого берега на левый не более одного раза (грести в лодке достаточно любому из гномов; гребец в течение одного рейса не меняется). Могут ли все гномы переправиться на правый берег?
- Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность a1, a2, a3, . . . натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?
- На доске написаны n > 3 различных натуральных чисел, меньших, чем (n − 1)! = 1 · 2 · . . . · (n − 1). Для каждой пары этих чисел Серёжа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он бы получил 100 = 14 · 7 + 2 и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных.
- Верно ли, что для любых трёх различных натуральных чисел a, b и c найдётся квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения a3, b3 и c3?
- Неравнобедренный треугольник ABC, в котором ∠ACB = 60◦, вписан в окружность Ω. На биссектрисе угла BAC выбрана точка A′, а на биссектрисе угла ABC — точка B′ так, что AB′ || BC и BA′ || AC. Прямая A′B′ пересекает Ω в точках D и E. Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.
- Каждая клетка доски 100 × 100 окрашена либо в чёрный, либо в белый цвет, причём все клетки, примыкающие к границе доски — чёрные. Оказалось, что нигде на доске нет одноцветного клетчатого квадрата 2 × 2. Докажите, что на доске найдётся клетчатый квадрат 2 × 2, клетки которого окрашены в шахматном порядке.