Задачи на прямоугольный треугольник

Часть 2

к содержанию задачника

1. Две стороны треугольника равны 6 и 8. Медианы, проведенные к этим сторонам, пересекаются под прямым углом. Найдите неизвестную сторону треугольника. ответ:  $2\sqrt{5}$
2. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ медианы СМ и ВР перпендикулярны. Найдите длины всех трех медиан, если АВ равно $c$. ответ: $c/2; c/\sqrt{2}; c\sqrt{3}/2$
3. Точка на гипотенузе находится на одинаковом расстоянии от катетов и делит гипотенузу на отрезки 15 и 20. Найдите катеты треугольника. ответ: 21; 28
4. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведена высота СD. Точка D находится на расстоянии $a$ и $b$ от катетов АС и ВС соответственно. Найдите длины катетов. ответ: $\frac{a^2+b^2}{a}, \frac{a^2+b^2}{b}$
5. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, высота, проведенная из вершины прямого угла, равна 3. Найдите отрезки, на которые биссектриса прямого угла делит гипотенузу. ответ: 5/2; 15/2
6. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки 8 и 10. Найдите площадь треугольника. ответ: 216
7. Катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Найдите длину биссектрисы прямого угла треугольника. ответ: $\frac{ab\sqrt{2}}{a+b}$
8. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12. Найдите биссектрисы острых углов треугольника. ответ: $\frac{9\sqrt{5}}{2}; 4\sqrt{10}$
9. Внутри прямоугольного треугольника АВС с прямым углом В взята точка D так, что площади треугольников ABD и BDC соответственно в три и четыре раза меньше площади треугольника АВС. Длины отрезков AD и DC равны соответственно $a$ и $c$. Найдите длину отрезка BD. ответ: $\sqrt{\frac{3a^2+8c^2}{35}}$
10. Прямоугольный треугольник, периметр которого равен 10, делится высотой, опущенной на гипотенузу, на два треугольника. Периметр одного из них равен 6. Найдите периметр второго треугольника. ответ: 8
11. В прямоугольном треугольнике медиана равна $m$ и делит прямой угол в отношении 1 : 2. Найдите площадь треугольника. ответ: $\sqrt{3}m^2/2$
12. Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника находится от катетов на расстоянии 3 и 4 соответственно. Найдите расстояние от этой точки до гипотенузы. ответ: 12/5
13. В прямоугольном треугольнике длины медиан острых углов равны $\sqrt{156}$ и $\sqrt{89}$. Найдите длину гипотенузы треугольника. ответ: 14
14. Площадь прямоугольного треугольника равна 6, а периметр равен 12. Найдите длину перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу. ответ: 12/5
15. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, длины сторон которого образуют арифметическую прогрессию. ответ: 2arctg 2; $\pi$/2-2arctg 2
16. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника больше длины другого на 10, но меньше длины гипотенузы на 10. Найдите длину гипотенузы. ответ: 50
17. В прямоугольном треугольнике BAD с прямым углом А точка К делит катет AD пополам. Найдите угол между медианами ВК и АО, если AD : DO = $\sqrt{2}$ ответ: 90 градусов
18. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении 3 : 1. В каком отношении делит гипотенузу высота? ответ: 1 : 9
19. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, проекция меньшего катета на гипотенузу равна 3,6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. ответ: 2
20. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 30 градусов, а высота, проведенная из вершины прямого угла. равна $\sqrt{3}$. Найдите гипотенузу. ответ: 4

Смотрите еще Прямоугольный треугольник Часть 1