1.5 Геометрические вероятности

,

Геометрические вероятности

теория вероятностей

содержание учебника

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно.
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.
На плоскости задана квадрируемая область, т.е. область, имеющая площадь. Обозначим эту область буквой \(G\), а ее площадь \(S_G\). В области \(G\) содержится область \(g\) площади \(S_g\) (рис. 1.1). В область \(G\) наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области \(G\) с вероятностью, пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формы и расположения. Пусть \(A\) – попадание брошенной точки в область \(g\), тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой

\(P(A)=\displaystyle\frac{S_g}{S_G}\).         (1.5.1)

2018-12-12_19-13-44

Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область G объема VG, содержащую область g объема Vg:

\(P(A)=\displaystyle\frac{V_g}{V_G}\).         (1.5.2)

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области (длину, площадь, объем) через mes g, а меру области G – через mes G (mes – первые три буквы французского слова mesure, что значит мера); обозначим буквой А событие “попадание брошенной точки в области g, которая содержится в области G”. Вероятность попадания в область g точки, брошенной в область G, определяется формулой

\(P(A)=\displaystyle\frac{mes g}{mes G}\).         (1.5.3)

Пример 1. В круг вписан квадрат (рис 1.2). В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадет в квадрат?

Решение.

2018-12-12_19-14-08

Введем обозначения: R – радиус круга, а – сторона вписанного квадрата,  А – попадание точки в квадрат, S – площадь круга, S1 – площадь вписанного квадрата. Как известно, площадь круга \(S=\pi\cdot R^2\). Сторона вписанного квадрата через радиус описанной окружности выражается формулой \(a=\sqrt{2}\cdot R\), поэтому площадь квадрата \(S_1=2R^2\).
Полагая в формуле (1.5.1) \(S_g=S\), \(S_G=S\), находим искомую вероятность
\(P(A)=\displaystyle\frac{2R^2}{\pi\cdot R^2}=\frac{2}{\pi}\approx 0,637\).

Пример 2. В квадрат (рис. 1.3) с вершинами в точках O(0, 0), К(0, 1), L(1, 1), М(1, 0) наудачу брошена точка Q(x, у). Найти вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству \(y>\displaystyle\frac{x}{2}\).

Решение.

2018-12-12_19-14-22

Проведем прямую \(y=\frac{x}{2}\), она пересечет отрезок ML в точке N(1; 1/2). Эта прямая рассекает плоскость на две полуплоскости: для координат точек первой из них (верхней) будет вьmолняться неравенство у > х/2, для второй (нижней) – неравенство у < х/2.
Все точки, принадлежащие квадрату OКLM и координаты  которых удовлетворяют неравенству у > х/2, находятся в многоугольнике OКLN. Этот многоугольник состоит из прямоугольника CKLN и треугольника OCN, его площадь S1 =1/2 + 1/4 =3/4. Площадь S квадрата OКLM равна единице: S = 1. В соответствии с формулой (1.5.1), приняв \(S_1=S_g\), \(S=S_G\), найдем искомую вероятность
\(P(A)=\displaystyle\frac{S_1}{S}=\frac{3/4}{1}=\frac{3}{4}=0,75\).

Пример 3. (Задача Бюффона). Плоскость расчерчена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно а. На эту плоскость бросается наудачу отрезок длины l (l < а). Какова вероятность того, что отрезок пересекается хотя бы с одной из прямых семейства?

Решение.

2018-12-12_19-14-41

Расстояние от верхнего конца отрезка до ближайшей снизу прямой обозначим через \(y\) (рис. 1.4). Угол между отрезком и
лучом, параллельным прямым семейства, начало которого совпадает с верхним концом отрезка, обозначим через \(x\). Очевидно, \(0\le y\le a\) и \(0\le x\le\pi\). Для того, чтобы отрезок  пересекал хотя бы одну из прямых семейства, необходимо и достаточно, чтобы \(y=a\) или \(y\le l\sin x\) . Выражение “отрезок брошен наудачу” будем понимать так: точка (х,у) наудачу брошена на прямоугольник: \(0\le x\le\pi\), \(0\le y\le a\). Точки, координаты которых удовлетворяют неравенству \(y\le l\sin x\), образуют фигуру, заштрихованную на рис 1.5.

2018-12-12_19-14-54

Площадь этой фигуры \(S_1=\int_0^{\pi}l\sin xdx=2l\).

Площадь всего прямоугольника есть \(S=a\pi\). По формуле (1.5.1),  приняв \(S_g=S_1\), \(S_G=S\), найдем искомую вероятность \(P(A)=\displaystyle\frac{S_1}{S}=\frac{2l}{a\pi}\), где А – событие “отрезок пересекается хотя бы с одной прямой”.
Пример 4.  В шар вписан куб. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность того, что точка попадет в куб.

Решение. Введем обозначения: событие А – “попадание точки в куб”; R – радиус шара, а – ребро куба, V – объем шара, V1 – объем вписанного куба.
Как известно, \(V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3\). Поскольку \(V_1=a^3\) и \(a=\displaystyle\frac{2R}{\sqrt{3}}\), то \(V_1=\displaystyle\frac{8}{3\sqrt{3}}R^3\). В соответствии с формулой (1.5.2), приняв \(V_g=V_1\) и \(V_G=V\), получим

\(P(A)=\displaystyle\frac{V_1}{V}=\frac{8R^3}{4\pi\sqrt{3} R^3}=\frac{2}{\pi\sqrt{3}}\approx 0,368\).

Задачи

  1. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 6 и 12 см соответственно. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное указанными окружностями?
  2. В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в этот круг, попадет в данный треугольник.
  3. В квадрат с вершинами O(0, 0), К(0, 1), L(1, 1), М(1, 0) наудачу брошена точка Q(x, у). Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенстау y > 2х?
  4. В шар вписана правильная треугольная пирамида. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность попадания точки в пирамиду.
  5. Стержень длиной l произвольным образом сломан на три части. Какова вероятность того, что из этих частей можно составить треугольник?
  6. На плоскости область G ограничена эллипсом \(\displaystyle\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\), а область \(g\) – этим эллипсом и эллипсом \(\displaystyle\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\). В область \(G\) брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в область \(g\)?
  7. В прямоугольник с вершинами К(-2, 0), L(-2, 5), М(1, 5), N(1, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты (х, у) будут удовлетворять неравенствам \(x^2+1\le y\le 3-x\)?
  8. В области G, ограниченной эллипсоидом \(\displaystyle\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{4}=1\), наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что координаты \(x\), \(y\), \(z\) этой точки будут удовлетворять неравенству \(x^2+y^2+z^2\le4\)?
  9. В прямоугольник С вершинами R(-2, 0), L(-2,9), М(4, 9), N(4, 0) брошена точка. Найти вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам \(0\le y\le 2x-x^2+8\).
  10. Область \(G\) ограничена окружностью \(x^2+y^2=25\), а область \(g\) – этой окружностью и параболой \(16x-3y^2=0\). В область \(G\) брошена точка. Какова вероятность, что она окажется в области \(g\)?

Ответы

  1. 0,75   2. \(\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\)   3. 0,25   4. \(\frac{2}{3\sqrt{3}\pi}\)   5. 0,25   6. 5/6   7. 0,3   8. 1/3   9. 2/3   10. \(\approx 0,352\)

Вопросы

  1. Как определяется геометрическая вероятность в общем случае?
  2. Как определяется геометрическая вероятность в пространственном случае?
  3. Как определяется геометрическая вероятность в плоском случае?
  4. Как определяется геометрическая вероятность в линейном случае?
  5. Каковы свойства геометрической вероятности?
  6. Приведите собственный пример на геометрическую вероятность.

содержание учебника



Смотрите:

  1. Задачи по теории вероятностей. Классическое и статистическое определение вероятности
  2. Задачи по теории вероятностей. Формула Бернулли
  3. Задачи по теории вероятностей. Локальная и интегральная теоремы Лапласа
  4. 1.1 Классификация событий