Действия над событиями. Соотношения между событиями

содержание учебника

Суммой, или объединением, двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумма двух событий А и В обозначается через А +В или \(A\cup B\). Аналогично определяется и обозначается сумма n событий – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумму n событий \(A_1, A_2,…,A_n\) обозначают так:

\(A_1+A_2+…+A_n=\sum_{k=1}^{n}A_k\) или \(A_1\cup A_2\cup …\cup A_n=\cup_{k=1}^{n}A_k\)

Проuзведением, или пересечением, двух событий называется событие, состоящее в одновременном их появлении. Произведение двух со­бытий А и В обозначается через АВ или \(A\cap B\). Аналогично определяется и обозначается произведение в случае большего числа событий. Произведение n событий \(A_1, A_2,…,A_n\) обозначают:

\(A_1A_2 … A_n=\cap_{k=1}^{n}A_k\) или \(A_1\cap A_2\cap …\cap A_n=\cap_{k=1}^{n}A_k\).

Понятия суммы и про изведения событий распространяются и на бесконечные последовательности событий. В этих случаях, например, применяют соответственно обозначения:

\(A_1\cup A_2\cup …\cup A_n …=\cup_{k=1}^{\infty}A_k\) и \(A_1\cap A_2\cap …\cap A_n …=\cap_{k=1}^{\infty}A_k\)

Если событие А обязательно произойдет при появлении некоторого другого события В, то говорят, что событие В представляет собой частный случай события А, и пишут \(B\subset A\), или \(B\supset A\) (говорят также, что В влечет А).
Если \(B\subset A\) и \(B\supset A\), т.е. события А и В в данном опыте могут появиться или не появиться вместе, то их называют равносильными, или эквивалентными, и пишут А = В.
Операции объединения и пересечения событий обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам сложения и умножения чисел.
Эти операции коммутативны:

\(A\cup B=B\cup A\) и \(A\cap B=B\cap A\).      (1.6.1)

Ассоциативны:

\((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)=\) \((A\cup C)\cup B=A\cup B\cup C\)      (1.6.2)

и \((A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)=\) \((A\cap C)\cap B=A\cap B\cap C\)      (1.6.3)

И дистрибутивны:

\((A\cup B)\cap C=(A\cap B)\cup (B\cap C)\)      (1.6.4)

Указанные свойства следуют из определения действий объединения
и пересечения событий. Не все законы сложения и умножения чисел справедливы для объединения и пересечения событий. Например, для любого события А выполняются равенства

\(A\cup A=A\) и \(A\cap A=A\).      (1.6.5)

Если U – достоверное, V – невозможное собьпие, А – любое событие, \(\overline{А}\) – событие, противоположное А, то выполняются равенства:

\(A\cap \overline{A}=V\) или \(A\overline{A}=V\).      (1.6.6)

\(A\cup \overline{A}=U\) или \(A+\overline{A}=U\).      (1.6.7)

\(A\cup V=A\) или \(A+V=A\).      (1.6.8)

\(A\cap V=V\) или \(AV=V\).      (1.6.9)

\(A\cup U=U\) или \(A+U=U\).      (1.6.10)

\(A\cap U=A\) или \(AU=A\).      (1.6.11)

Из свойств операций пересечения и объединения следует, что для любых событий А и В имеем \(A=AU=A(B+\overline{B})=AB+A\overline{B}\), т.е. \(A=AB\cup A\overline{B}\) или \(A=AB+A\overline{B}\). (1.6.12) Формула (1.6.12) дает разложение любого события А на сумму двух непересекающихся (несовместных) событий.
Если \(B\subset A\), то \(AB=B\) и формула (1.6.12) принимает вид \(A=B\cup A\overline{B}\), или \(A=B+A\overline{B}\). (1.6.13)
Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что наступает событие А и не происходит событие В. Разность событий А и В обозначается так: А-В, или А\В.

Пример 1. Подбрасывается игральный кубик. Обозначим события: А – “выпадение шести очков”, В – “выпадение трех очков”, С – “выпадение четного числа очков”, D – “выпадение числа очков, кратного трем”. Каковы соотношения между этими событиями?

Решение.

Если выпало шесть очков, то тем самым выпало и четное число очков, т.е. событие А влечет событие С: \(A\subset C\). Рассуждая аналогично, получаем \(A\subset D\), \(B\subset D\), А + В = D, CD = А.

Пример 2. Опыт – подбрасывание игрального кубика. События: \(A_k\) (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6) – “выпадение k очков”, А – “выпадение четного числа очков”, В – “выпадение нечетного числа очков”, С – “выпадение числа очков, кратного трем”, D – “выпадение числа очков, большего трех”.
Выразить события А, В, С и D через события \(A_k\).

Решение.

Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает \(A_2\) , или \(A_4\), или \(A_6\). Это означает, что \(A=A_2+A_4+A_6\). Рассуждая аналогичным образом, получаем: В = А₁ + А₃ + А₅,  С = А₃ + А₆, D =А₄ + А₅ + А₆.

Пример 3. Пусть \(A, B, C\) – произвольные события. Что означают события \(\overline{A}BC\), \(\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}\), \(\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}\), \(A\overline{B}\cdot\overline{C}+\overline{A}B\overline{C}+\overline{A}\cdot\overline{B}C\), \(\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}+\overline{A}\cdot\overline{B}C+\overline{A}B\overline{C}+A\overline{B}\cdot\overline{C}\)?

Решение.

В соответствии с определением \(\overline{A}BC\) – произведение трех событий А, В, С, которые происходят одновременно, причем \(\overline{A}\) – событие, противоположное событию А. Следовательно, \(\overline{A}BC\) означает, что событие А не произошло, а события В и С произошли. Рассуждая аналогично, заключаем, что: \(\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}\) – ни одно из трех данных событий не произошло, \(\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}\)
– хотя бы одно из трех событий не произошло; \(A\overline{B}\cdot\overline{C}+\overline{A}B\overline{C}+\overline{A}\cdot\overline{B}C\) – произошло ровно одно из трех событий; \(\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}+\overline{A}\cdot\overline{B}C+\overline{A}B\overline{C}+A\overline{B}\cdot\overline{C}\) – произошло не более одного из трех событий.

Пример 4.  Опыт состоит в том, что стрелок производит 3 выстрела по мишени. Событие A_k – “попадание в мишень при k-ом выстреле” (k = 1, 2, 3). Выразить через A₁, А₂, А_з следующие события: А – “хотя бы одно попадание”, В – “три попадания”; С – “три промаха”; D – “хотя бы один промах”; Е – “не меньше двух попаданий”; F – “не более одного попадания”; G – “попадание после первого выстрела”.

Решение. Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает A₁, или А₂, или A_3. Это означает, что А = А₁ + А₂ + А₃. Три попадания будет тогда и только тогда, когда попадание наступит при каждом выстреле, т.е. события A₁, А₂, А₃ осуществляются все вместе: В =А₁ • А₂ • А₃. Три промаха будет тогда и только тогда, когда промах явится результатом каждого выстрела, т.е. события \(\overline{A_1}\), \(\overline{A_2}\), \(\overline{A_3}\) осуществляются все вместе: \(C=\overline{A_1}\cdot\overline{A_2}\cdot\overline{A_3}\). Рассуждая аналогично, заключаем, что: \(D=\overline{A_1}+\overline{A_2}+\overline{A_3}\), \(E=A_1A_2+A_1A_3+A_2A_3\),  \(F=\overline{A_1}\cdot\overline{A_2}+\overline{A_1}\cdot\overline{A_3}+\overline{A_2}\cdot\overline{A_3}\),  \(G=\overline{A_1}(A_2+A_3)\).

Пример 5.  Опыт – извлечение детали из ящика, в котором находятся изделия трех сортов. Обозначения событий: А – “извлечена деталь первого сорта”, В – “извлечена деталь второго сорта”, С – “извлечена деталь третьего сорта”. Что представляют собой следующие события: А+В; \(\overline{A+C}\); АС; АВ+С?

Решение. А + В – это событие, которое происходит при наступлении хотя бы одного из событий А и В. Следовательно, А + В в данном случае – деталь первого или второго сорта. Поскольку А + С – деталь первого или третьего сорта, то противоположное этому событие \(\overline{A+C}\) – деталь второго сорта. АС – невозможное c0бытие, поскольку деталь одновременно не может быть и первого и третьего сорта. АВ + С как сумма невозможного события и события С равно С, т.е. АВ + С – деталь третьего сорта.

Пример 6.  Доказать, что \(\overline{A+B}=\overline{A}\cdot\overline{B}\).

Решение. Для доказательства этого равенства достаточно показать, что \(\overline{A+B}\subset\overline{A}\cdot\overline{B}\) и \(\overline{A}\cdot\overline{B}\subset\overline{A+B}\). Если наступило событие \(\overline{A+B}\), то это означает, что произошло событие, противоположное А + В, т.е. наступили \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\) одновременно: \(\overline{A+B}\subset\overline{A}\cdot\overline{B}\). С другой стороны, если произошло событие \(\overline{A}\cdot\overline{B}\), то это означает, что произошло и \(\overline{A}\), и \(\overline{B}\), т.е. не наступило ни одно из событий А и В: \(\overline{A}\cdot\overline{B}\subset\overline{A+B}\). Итак, поскольку \(\overline{A}\cdot\overline{B}\subset\overline{A+B}\) и \(\overline{A+B}\subset\overline{A}\cdot\overline{B}\), то по определению \(\overline{A+B}=\overline{A}\cdot\overline{B}\).

Пример 7.  Доказать, что (A+C)(B+C)=AB+C.

Решение. Принимая во внимание равенства (1.6.1), (1.6.4), (1.6.5), (1.6.10), (1.6.11), получаем (А+С)(В+С) = А(В+С)+ С(В+С) = АВ + АС + СВ+ СС =АВ+(А+В)С+С =АВ+(А+B)C+CU =АВ+(А+В+U)С = АВ + UC = АВ + С.
(Здесь U – достоверное событие).

Задачи

1. Опыт состоит в подбрасывании трех монет. Монеты занумерованы и события \(A_1, A_2, A_3\) означают выпадение герба соответственно на первой, второй и третьей монетах. Выразите через \(A_1, A_2, A_3\) следующие события: А – “выпадение одного герба и двух цифр”; В – “выпадение не более одного герба”; С – “число выпавших гербов меньше числа выпавших цифр”; D – “выпадение хотя бы двух гербов”; Е – “на первой монете выпал герб, а на остальных – цифры”; F – “на первой монете выпала цифра и хотя бы на одной из остальных выпал герб”.
2. Через произвольные события А, В, С найти выражения для следующих событий: а) произошло только событие А; б) произошло А и В, но С не произошло; в) произошли все три события; г) произошло, по крайней мере, одно из этих событий; д) произошло, по крайней мере, два события; е) произошло одно и только одно событие; ж) произошло два и только два события; з) ни одно событие не произошло; и) произошло не более двух событий.
3. Упростите выражение \((A+B)(B+C)(C+A)\)
4. Докажите, что \(\overline{\overline{AB}}=A+B\) и \(\overline{\overline{C}+\overline{D}}=CD\)
5. Упростите выражение \((A+B)(A+\overline{B})+(\overline{A}+B)(\overline{A}+\overline{B})\).
6. Докажите, что \(\overline{AB}=\overline{A}+\overline{B}\)
7. Докажите, что \(\overline{A_1+A_2+…+A_n}=\overline{A_1}\cdot\overline{A_2}\cdot … \cdot\overline{A_n}\) и  \(\overline{A_1\cdot A_2\cdot…\cdot A_n}=\overline{A_1}+\overline{A_2}+ … +\overline{A_n}\)

Ответы

1. \(A=A_1\cdot\overline{A_2}\cdot\overline{A_3}+\overline{A_1}\cdot A_2\cdot\overline{A_3}+\overline{A_1}\cdot\overline{A_2}\cdot A_3\); \(B=\overline{A_1}\cdot\overline{A_2}+\overline{A_1}\cdot\overline{A_3}+\overline{A_2}\cdot\overline{A_3}\); \(C=B\); \(D=A_1A_2+A_1A_3+A_2A_3\); \(E=A_1\overline{A_2}\cdot\overline{A_3}\); \(F=\overline{A_1}(A_2+A_3)\)  2. а) \(A\overline{B}\cdot\overline{C}\); б) \(AB\overline{C}\); в) ABC; г) A+B+C; д) AB+AC+BC; е) \(A\overline{B}\cdot\overline{C}+\overline{A}\cdot B\overline{C}+\overline{A}\cdot\overline{B}C\); ж) (AB+AC+BC)-ABC; з) \(\overline{A}\cdot\overline{B}\cdot\overline{C}\); и) \(\overline{ABC}\)  3. AB+BC+AC     5. U

Вопросы

1. Что называют суммой, или объединением, двух событий?
2. Как обозначают сумму двух событий?
3. Приведите примеры суммы двух событий.
4. Что называют суммой, или объединением, нескольких. событий?
5. Что называют произведением, или пересечением, двух событий?
6. Как обозначают произведение двух событий?
7. Что называют произведением нескольких событий?
8. Приведите примеры произведения трех событий.
9. Что называют разностью двух событий?
10. Приведите примеры разности двух событий.

содержание учебника