Условия задач смотрите по ссылке

Вариант 1

Задача 4

На катетах прямоугольного треугольника АВС (∠С=90^о) во внешнюю сторону построены квадраты АКМС и ВСТР. Отрезок ВК пересекает катет АС в точке В₁, отрезок АР пересекает катет ВС в точке А₁. Найти угол А₁В₁С.

Решение

Пусть KA = a, CB₁ = x, PB = b. Тогда AB₁ = a-x и A₁B = b-y.

Треугольники KAB₁ и CB₁B подобны (по двум углам), тогда $\frac{a}{b}=\frac{a-x}{x}$, откуда $\frac{a}{b}+1=\frac{a}{x}$.

Треугольники ACA₁ и A₁BP подобны, тогда $\frac{b}{a}=\frac{b-y}{y}$, откуда $\frac{b}{a}+1=\frac{b}{y}$.

Разделим первое равенство на второе и упростим:

$\frac{(a+b)a}{b(a+b)}=\frac{ay}{bx}$, откуда $1=\frac{y}{x}$, то есть y=x и треугольник CB₁A₁ прямоугольный и равнобедренный, то есть с острым углом в 45^o.

Ответ: 45^o