Справочник по математике
Метод координат в пространстве
Отрезки
Длина отрезка \(AB\), если \(A(x_A,y_A,z_A)\) и \(B(x_B,y_B,z_B)\)
\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)
Если т. \(M(x_M,y_M,z_M)\) – середина отрезка \(AB\) и \(A(x_A,y_A,z_A)\), \(B(x_B,y_B,z_B)\), то \(x_M=\displaystyle\frac{x_A+x_B}{2}\), \(y_M=\displaystyle\frac{y_A+y_B}{2}\) и \(z_M=\displaystyle\frac{z_A+z_B}{2}\)
Если т. \(C(x_C,y_C,z_C)\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(k=\displaystyle\frac{AC}{CB}\), то
\(x_C=\displaystyle\frac{x_A+k\cdot x_B}{1+k}\), \(y_C=\displaystyle\frac{y_A+k\cdot y_B}{1+k}\) и \(z_C=\displaystyle\frac{z_A+k\cdot z_B}{1+k}\)
Прямая
Уравнение прямой, проходящей через точки \(A(x_A,y_A,z_A)\) и \(B(x_B,y_B,z_B)\)
\(\displaystyle\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{z-z_A}{z_B-z_A}\)
Каноническое уравнение прямой, проходящей через т.\(A(x_0,y_0,z_0)\) параллельно вектору \(\overrightarrow{p}(l,m,n)\)
\(\displaystyle\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}\)
Параметрическое уравнение прямой, проходящей через т.\(A(x_0,y_0,z_0)\) параллельно вектору \(\overrightarrow{p}(l,m,n)\)
\(\left\{\begin{array}{l l} x=x_0+lt,\\ y=y_0+mt,\\z=z_0+nt \end{array}\right.\)
Прямая как пересечение двух плоскостей
\(\left\{\begin{array}{l l} a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0,\\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 \end{array}\right.\)
Плоскость
Общее уравнение плоскости
\(ax+by+cz+d=0\), где \(a^2+b^2+c^2\ne0\)
Уравнение плоскости, проходящей через т.\(A(x_0,y_0,z_0)\) перпендикулярно вектору \(\overrightarrow{n}(n_1,n_2,n_3)\)
\(n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0\)
Уравнение плоскости, проходящей через т.\(A(x_0,y_0,z_0)\) параллельно неколлинеарным векторам \(\overrightarrow{p_1}(l_1,m_1,n_1)\) и \(\overrightarrow{p_2}(l_2,m_2,n_2)\)
\(\begin{vmatrix}x-x_0& y-y_0&z-z_0 \\l_1&m_1&n_1\\l_2&m_2&n_2 \end{vmatrix}=0\)
Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой, \(A(x_1,y_1,z_1)\), \(B(x_2,y_2,z_2)\) и \(C(x_3,y_3,z_3)\)
\(\begin{vmatrix}x-x_1& y-y_1&z-z_1 \\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1 \end{vmatrix}=0\)
Уравнение плоскости в отрезках
Если \(a,b,c\) – величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на осях \(Ox\),\(Oy\) и \(Oz\) соответственно, то
\(\displaystyle\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)
Нормальное уравнение плоскости
\(x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma-p=0\), где \(p>0\)
Параметрическое уравнение плоскости, проходящей через т.\(A(x_0,y_0,z_0)\) параллельно векторам \(\overrightarrow{p_1}(l_1,m_1,n_1)\) и \(\overrightarrow{p_2}(l_2,m_2,n_2)\)
\(\left\{\begin{array}{l l} x=x_0+l_1t_1+l_2t_2,\\ y=y_0+m_1t_1+m_2t_2,\\z=z_0+n_1t_1+n_2t_2 \end{array}\right.\)
Расстояние \(h\) от точки \(A(x_0,y_0,z_0)\) до плоскости \(ax+by+cz+d=0\)
\(h=\displaystyle\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
Сфера
Уравнение сферы с центром в точке \(O(x_0,y_0,z_0)\) и радиусом \(R\)
\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2\)