Справочник по математике
Метод координат на плоскости
Отрезки
Длина отрезка \(AB\), если \(A(x_A,y_A)\) и \(B(x_B,y_B)\)
\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
Если точка \(M(x_M,y_M)\) – середина отрезка \(AB\) и \(A(x_A,y_A)\), \(B(x_B,y_B)\), то \(x_M=\displaystyle\frac{x_A+x_B}{2}\) и \(y_M=\displaystyle\frac{y_A+y_B}{2}\)
Если точка \(C(x_C,y_C)\) делит отрезок \(AB\) в отношении \(k=\displaystyle\frac{AC}{CB}\), то
\(x_C=\displaystyle\frac{x_A+k\cdot x_B}{1+k}\) и \(y_C=\displaystyle\frac{y_A+k\cdot y_B}{1+k}\)
Прямые
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
\(y=kx+b\), где \(k=\mathrm{tg}\alpha\)
Прямые \(y=k_1x+b_1\) и \(y=k_2x+b_2\) параллельны \(\Leftrightarrow\) \(k_1=k_2\)
Прямые \(y=k_1x+b_1\) и \(y=k_2x+b_2\) перпендикулярны \(\Leftrightarrow\) \(k_1\cdot k_2=-1\)
Угол \(\alpha\) между прямыми \(y=k_1x+b_1\) и \(y=k_2x+b_2\)
\(\mathrm{tg}\alpha=|\displaystyle\frac{k_1-k_2}{1+k_1\cdot k_2}|\)
Уравнение прямой, заданной точкой \(A(x_0,y_0)\) и угловым коэффициентом \(k\)
\(y-y_0=k(x-x_0)\)
Общее уравнение прямой
\(ax+by+c=0\)
Уравнение прямой, проходящей через точки \(A(x_A,y_A)\) и \(B(x_B,y_B)\)
\(\displaystyle\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\)
Уравнение прямой в отрезках
\(\displaystyle\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
Каноническое уравнение прямой, проходящей через т.\(A(x_0,y_0)\) параллельно вектору \(\overrightarrow{p}(l,m)\)
\(\displaystyle\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}\)
Параметрическое уравнение прямой, проходящей через т.\(A(x_0,y_0)\) параллельно вектору \(\overrightarrow{p}(l,m)\)
\(\left\{\begin{array}{l l} x=x_0+lt,\\ y=y_0+mt\end{array}\right.\)
Уравнение прямой, заданной точкой \(A(x_0,y_0)\) и вектором нормали \(\overrightarrow{n}(a,b)\)
\(a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\)
Нормальное уравнение прямой
(\(p\) – длина перпендикуляра от начала координат до прямой)
\(x\cos\alpha+y\sin\alpha-p=0\)
Расстояние \(d\) от точки \(A(x_0,y_0)\) до прямой \(ax+by+c=0\)
\(d=\displaystyle\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
Окружность
Уравнение окружности с центром в точке \(O(x_0,y_0)\) и радиусом \(R\)
\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\)