Урок 40. Использование различных свойств функции

Домашнее задание из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. $$(x^x-7x-6)\cdot\sin x>0$$
2. $$\sqrt{2x^2-3x-5}+x\sqrt{x+1}+5=4\sqrt{x+1}+2\sqrt{2x-5}+2x$$
3. $$\frac{2+\log_3x}{x-1}<\frac{6}{2x-1}$$
4. Найдите все значения параметра $$a$$, при которых неравенство $$\log_{1/a}(\sqrt{x^2+ax+5}+1)\cdot \log_5(x^2+ax+6)+\log_a3\geq 0$$ имеет ровно одно решение.
5. \(\left\{\begin{array}{l l} (\sin x)^{y+\frac{1}{y}}+(\cos x)^{y+\frac{1}{y}}=1,\\0<x<y<\frac{\pi}{2}\end{array}\right.\)
6. Найдите все значения параметра $$a$$ из интервала (2; 5), при которых уравнение $$\log_2(3-|\sin ax|)=\cos (\pi x-\frac{\pi}{6})$$ имеет хотя бы одно решение из отрезка [2;3].
7. Найдите все $$a$$, при которых уравнение $$(x tg x+1)\sqrt{|x|-a}=\frac{ax^2+1}{\cos x}$$ имеет нечетное число корней.
8. Доказать, что для любых $$p$$ и $$t$$ справедливо неравенство $$2(2p-1)^4+1+(1-2(2p-1)^4)\sin 2t \geq 0$$, и найти все пары $$(p; t)$$, при которых оно обращается в равенство.
9. Среди всех решений $$(a,b,c,d)$$  системы \(\left\{\begin{array}{l l} a^2+b^2=9,\\c^2+d^2=16,\\ad+bc\geq 12\end{array}\right.\) найдите такие, при которых величина $$b+d$$ принимает наименьшее значение.
10. Найдите все $$a$$, при которых функция $$f(x)=\sin 2x-8(a+1)\sin x+(4a^2+8a-14)x$$ является возрастающей на всей числовой прямой и при этом не имеет критических точек.
11. Найдите все $$x \in (-1/2; 3/2)$$, удовлетворяющие уравнению $$\log_2(\sin 3x-\cos 2x-\frac{3}{10})=\log_2(\sin 7x-\cos 6x-\frac{3}{10})$$.
12. Что больше, $$\log _910$$ или $$\log_{10}11$$?
13. $$\frac{3+2\cos (x-y)}{2}=\sqrt{3+2x-x^2}\cos^2 \frac{x-y}{2}+\frac{\sin^2 (x-y)}{2}$$
14. $$\log_{\frac{2}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}}(x^2-4x-2)=\log_{\frac{1}{2-\sqrt{3}}}(x^2-4x-3)$$
15. $$\sqrt{x+\sqrt{3}+1}+\sqrt{4x-5}+\sqrt{\frac{4x}{\sqrt{3}}+11}=6$$

Ответы к домашнему заданию урока 40 из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. $$(2n\pi, \pi+2n\pi), n\in Z, n\geq 1$$
2. 6
3. (1/2;1)
4. 2
5. x = t, y = 1, 0<t<1
6. $$9\pi/13, 15\pi/13$$
7. -1
8. $$p=1/2, t=-\pi/4+n\pi$$
9. a=-12/5, b=-9/5, c=-12/5, d=-16/5
10. $$a<-2-\sqrt{5}, a>\sqrt{5}$$
11. $$\pi/6$$
12. $$\log_9{10}>\log_{10}11$$
13. $$x=1, y=1+\pi/2+n\pi, n \in Z$$
14. $$2\pm\sqrt{14+4\sqrt{3}}$$
15. $$3-\sqrt{3}$$