Урок 41. Удачная подстановка или группировка
Домашнее задание из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”
- $$x^4-4x^3+x^2+4x+1=0$$
- $$x^4+x^3-2x^2-3x-3=0$$
- $$5x+13+10\sqrt{x+2}\geq 4\sqrt{x^2+x-2}+5\sqrt{x-1}$$
- Решите в целых числах уравнение $$5x^2+y^2+3z^2-2yz=30$$.
- Найдите наименьшее $$x$$, для которого существуют $$y$$ и $$z$$ такие, что $$x^2+2y^2+z^2+xy-xz-yz=1$$.
- Пусть $$m$$ и $$n$$ – натуральные числа, $$\frac{m}{n}$$ – правильная несократимая дробь. Известно, что дробь $$\frac{2n-m}{3n+2m}$$ сократима на натуральное $$k>1$$. Найдите все возможные k.
- $$\sqrt{\frac{3x^2}{2}-2y^2+2z^2+10z+6y+\frac{\sqrt{3}x}{2}-17}+$$ $$\sqrt{3x^2-2\sqrt{3}(\cos \pi y+\cos \pi z)x+4}=0$$
- $$\sqrt{(x-5)(-x+7)}+1>-\sqrt{x-5}+\sqrt{-x+7}$$
- $$\sqrt{9-\frac{9}{x}}<x-\sqrt{x-\frac{9}{x}}$$
- Решите в целых числах уравнение $$15x^2y^2-8yx^2+28y^2x+x^2+5y^2-38xy+8x-24y+16=0$$.
- $$(x^2-3x+1)(x^2+3x+2)(x^2-9x+20)=-30$$
- Для каждого $$a\ne 0$$ решите уравнение $$x^3-3x=a^3+\frac{1}{a^3}$$.
- $$\log_{x/4}(x^2)-\log_{8x}(x^3)=0$$
- $$(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)=10$$
- $$(x-1)(x-2)(x-4)(x-8)=7x^2$$
- $$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+4}=0$$
- $$x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{35}{12}$$
- $$3\cos x+\sin x=tg\frac{x}{2}$$
- $$(x+1)^{\log_3(x^2+x)}=(x^2+x)^{\log_3(2-x)}$$
- $$(x^2+4x+8)^2+3x^3+14x^2+24x=0$$
Ответы к домашнему заданию урока 41 из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”
- $$(3\pm\sqrt{13})/2; (1\pm\sqrt{5})/2$$
- $$\pm\sqrt{3}$$
- $$x\geq 1$$
- $$x=\pm 1, y=\pm 5, z=0$$
- $$-\sqrt{7/5}$$
- k = 7
- $$x=-2\sqrt{3}/3, y=z=1; x=-2\sqrt{3}/3, y=7, z=-9$$
- $$6-\sqrt{4\sqrt{5}-8}<x\leq 7$$
- $$3\leq x<(1+\sqrt{37})/2, x>(1+\sqrt{37})/2$$
- (-2; -2), (-4; 0), (0; 4)
- $$(3\pm\sqrt{29})/2; (3\pm\sqrt{25\pm 4\sqrt{30}})/2$$
- если а = 1, то х = -1 или х = 2; если a = -1, то х = -2 или х = 1; при остальных a значение x = a+1/a.
- 1; 4096
- $$-3\pm\sqrt{6}$$
- $$(15+\sqrt{37})/4\pm\sqrt{(15+\sqrt{37})^2/4-8}$$
- $$-2\pm\sqrt{(15\pm\sqrt{145})/10}$$
- 5/3; 5/4
- $$-2arctg2+2n\pi, \pi/2+2n\pi, n\in Z$$
- $$1/2; (\sqrt{5}-1)/2$$
- -4; -2