Урок 7. [3] Обратные тригонометрические функции

Домашнее задание из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. Докажите, что \(arctg x+arcctg x=\frac{\pi}{2}\) для любых \(x\).
2. Докажите, что \(arctg (-x)=-arctg x\) для любых \(x\).
3. Докажите, что \(arcctg (-x)=\pi – arcctg x\) для любых \(x\).
4. Докажите, что \(\sin (arctg x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) для любых \(x\).
5. Докажите, что \(tg (\arcsin x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\) для \(x\in (-1;1)\).
6. Докажите, что \(tg (\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\) для \(x\in [-1;0)\cup (0;1]\).
7. Докажите, что \(tg (arcctg x)=ctg( arctg x)=\frac{1}{x}\) для \(x\ne 0\).
8. Докажите, что \(\arcsin x+\arcsin y=\arcsin (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\) при \(x,y\in [0; 1/\sqrt{2}]\)
9. Верно ли утверждение предыдущей задачи для любых \(x,y\in [-1;1]\)?
10. Докажите, что \(arctg x+arctg y=arctg \frac{x+y}{1-xy}\), если \(x,y\in [0;1)\).
11. Верно ли утверждение предыдущей задачи для любых x, y?
12. Найдите \(\arcsin (sin 10)\).
13. Найдите \(\arccos (cos 10)\).
14. Найдите \(tg^2 (\frac{1}{2}\arccos\frac{2}{3})\).
15. Найдите \(arctg\frac{1}{2}+arctg\frac{1}{3}+arctg\frac{1}{4}+arctg\frac{1}{5}+arctg\frac{1}{6}+arctg\frac{2}{3}+arctg\frac{3}{5}+arctg\frac{5}{7}\).
16. Решите уравнение \(2\arcsin x+\arccos (1-x)=0\).
17. Решите уравнение \(\sin (3\arccos x)=\frac{1}{2}\).
18. Решите уравнение \(\arcsin^2 x+\arccos^2 x=\frac{5\pi^2}{36}\).

Ответы к домашнему заданию урока 7 из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

9. Не верно для x=y=1
11. Не верно для x=y=1
12. \(3\pi-10\)
13. \(4\pi-10\)
14. 1/5
15. \(\pi\)
16. 0
17. \(\pm\cos (\pi/18)\)
18. \(1/2; \sqrt{3}/2\)