Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2014

Демонстрационный вариант  ЕГЭ  по математике 2014

11 класс 

Часть 1

B1. Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?

B2. Футболка стоила 800 рублей. Затем цена была снижена на 15%. Сколько рублей сдачи с 1000 рублей должен получить покупатель при покупке этой футболки после снижения цены?

B3. На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место — Казахстан. Какое место занимала Канада?

ЕГЭ диаграмма

B4 Строительная фирма планирует купить 70 м3 пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

Поставщик Стоимость пеноблоков
(руб за 1 м3)
Стоимость доставки
(руб)
Дополнительные условия доставки
А  2600 10 000 Нет
Б  2800  8 000 При заказе товара на сумму свыше
150 000 рублей доставка бесплатная
В  2700 8 000 При заказе товара на сумму свыше
200 000 рублей доставка бесплатная

B5. Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

ЕГЭ ромб

B6. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

B7. Найдите корень уравнения \(3^{x-5}=81\)

B8. Треугольник ABC вписан в окружность с центром O . Найдите угол BOC , если угол BAC равен 32o . Ответ дайте в градусах.

B9. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, …, x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f (x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

ЕГЭ производная

B10. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

ЕГЭ цилиндр

Часть 2

Ответом на задания В11–В15 должно быть целое число или конечная
десятичная дробь. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке
в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

B11. Найдите \(\sin \alpha\), если \(\cos \alpha = 0,6\) и \(\pi < \alpha < 2\pi\).

B12. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением   \(v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}\), где c =1500 м/с — скорость звука в воде, f0 — частота испускаемого сигнала (в МГц), f — частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту (в МГц) отражённого сигнала, если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.

B13. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен \(10\sqrt{2}\) . Найдите образующую конуса.

ЕГЭ сфера

B14. Весной катер идёт против течения реки в \(1\frac{2}{3}\) раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в \(1\frac{1}{2}\) раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

B15. Найдите точку максимума функции \(y=\ln (x+4)^2+2x+7\).

Для записи решений и ответов на задания С1-С4 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т.д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.

С1. а) Решите уравнение \(\displaystyle\cos 2x=1-\cos (\frac{\pi}{2}-x)\).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-5\pi/2; -\pi)\).

С2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра: AB = 3, AD = 2, AA1 = 5. Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1.

С3. Решите систему неравенств

ЕГЭ система

С4.  Две окружности касаются внешним образом в точке K . Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D , прямая AK пересекает вторую окружность в точке C . а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны. б) Найдите площадь треугольника AKB , если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

С5. Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции \(f(x)=2ax+|x^2-8x+7|\) больше 1.

С6. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно  -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8. а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Ответы

B1. 8
B2. 320
B3. 7
B4. 192000
B5. 12
B6. 0,92
B7. 9
B8. 64
B9. 3
B10. 4
B11. -0,8
B12. 751
B13. 20
B14. 5
B15. -5
C1. а)\(\pi n, n\in Z\); \((-1)^k\pi/6+\pi k, k\in Z\) б) \(-2\pi; -11\pi/6; -7\pi/6\)
C2. \(\sqrt{133}\)
C3. -3; 0; [1;2)
C4. 3,2
C5. \(0,5<a<4+\sqrt{6}\)
C6. а) 44; б) отрицательных; в) 17

Инструкция по выполнению работы

На выполнение заданий варианта КИМ по математике даётся 3 часа 55 минут (235 минут). Работа состоит из двух частей, включающих в себя 21 задание.
Часть 1 содержит 10 заданий (задания В1–В10) базового уровня сложности, проверяющих наличие практических математических знаний и умений.
Часть 2 содержит 11 заданий (задания В11–В15 и С1–С6) повышенного и высокого уровней по материалу курса математики средней школы, проверяющих уровень профильной математической подготовки.
Ответом к каждому из заданий В1–В15 является целое число или конечная десятичная дробь. При выполнении заданий С1–С6 требуется записать полное решение и ответ.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки.
При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком.
Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.
Советуем выполнять задания в том порядке, как они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.