Математика. Как решать неполные квадратные уравнения

Как решать неполные квадратные уравнения

квадратное уравнение

Квадратное уравнение имеет вид \(ax^2+bx+c=0\), где \(a\ne 0\). Если \(b=0\) или \(c=0\), то уравнение называется неполным и допускает решение без использования дискриминанта (подробнее о дискриминанте в статье Как решать квадратные уравнения). Рассмотрим каждый случай на примерах.

а) случай \(b=0\)

Неполное квадратное уравнение имеет вид \(ax^2+c=0\), где \(a\ne 0\).

Пример 1. \(2x^2+3=0\).

В этом уравнении корней нет, так как левая часть при любых значениях \(x\) положительна, в то время как правая часть равна нулю. Следовательно, равенство невозможно. Ответ: нет корней.

Пример 2. \(x^2=-4\).

Правая часть уравнения отрицательна (-4<0), а левая часть при любых \(x\) таковой не является, ведь любое число в квадрате неотрицательно. Ответ: нет корней.

Пример 3. \(x^2=0\).

Уравнение имеет единственный корень, равный нулю. Ответ: 0.

Пример 4. \(x^2=4\).

Типичной ошибкой является ответ \(x=2\). На самом деле \(x=\pm\sqrt{4}=\pm 2\). То есть уравнение имеет два корня. Ответ: \(\pm 2\)

Пример 5. \(2x^2-3=0\).

Перенесем число \(-3\) в правую часть. При этом слагаемое поменяет знак. Тогда \(2x^2=3\) \(\Leftrightarrow x^2=\displaystyle\frac{3}{2}\). Откуда \(x=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{3}{2}}\). Остается немного упростить полученное выражение. Ответ: \(\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\).

Пример 6. \(x^2=2\sqrt{2}-3\).

Важно не забыть проанализировать знак правой части. Число \(2\sqrt{2}-3<0\), так как \(2\sqrt{2}<3\Leftrightarrow 8<9\), поэтому уравнение не имеет корней. Ошибкой было бы считать, что \(x=\pm\sqrt{2\sqrt{2}-3}\), ведь квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Таким образом, в случае \(b=0\) сначала упрощаем уравнение к виду \(x^2=d\), затем определяем знак числа \(d\). Если \(d<0\), то корней нет. Если \(d=0\), то \(x=0\). И если \(d>0\), то уравнение имеет два корня \(x=\pm\sqrt{d}\).

б) случай \(c=0\)

Уравнение имеет вид \(ax^2+bx=0\), где \(a\ne 0\).

Пример 7. \(2x^2-3x=0\).

Наша цель применить метод разложения на множители. Для этого в правой части должен быть 0, а в левой части – произведение. Вынесем \(x\) за скобки, тогда \(x\cdot (2x-3)=0\). Произведение равно нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому \(x=0\) или \(2x-3=0\), откуда \(x=0\) или \(x=\displaystyle\frac{3}{2}\). То есть уравнение распалось на два более простых (линейных) уравнения. Ответ: \(0;\displaystyle\frac{3}{2}\).

Пример 8. \(2x(x+1)-6=3(x-2)\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\(2x^2+2x-6=3x-6\)
\(2x^2+2x-3x=6-6\)
\(2x^2-x=0\)

Далее разложим левую часть на множители.

\(x(2x-1)=0\)

Получим два линейных уравнения.

\(x=0\) или \(2x-1=0\), откуда \(x=0\) или \(x=\displaystyle\frac{1}{2}\).

Ответ: \(0;\displaystyle\frac{1}{2}\)

Таким образом, в случае \(b=0\) неполное квадратное уравнение решается методом разложения на множители.

Если у вас трудности с арифметическими вычислениями, потренироваться можно здесь.

Задачи для самостоятельного решения

  1. \(-7x^2-3x=0\)
  2. \(4x^2-5x=0\)
  3. \(\displaystyle\frac{1}{4}x^2-1=0\)
  4. \(x^2-16=0\)

Ответы

  1. 0; -3/7
  2. 0; 5/4
  3. -2; 2
  4. -4; 4

еще задачи здесь (номера 1-4, 29-34, ответы в комментариях)

еще статья Как решать квадратные уравнения

все статьи по школьной математике