Как решать неполные квадратные уравнения
Квадратное уравнение имеет вид , где
. Если
или
, то уравнение называется неполным и допускает решение без использования дискриминанта (подробнее о дискриминанте в статье Как решать квадратные уравнения). Рассмотрим каждый случай на примерах.
а) случай
Неполное квадратное уравнение имеет вид , где
.
Пример 1. .
В этом уравнении корней нет, так как левая часть при любых значениях положительна, в то время как правая часть равна нулю. Следовательно, равенство невозможно. Ответ: нет корней.
Пример 2. .
Правая часть уравнения отрицательна (-4<0), а левая часть при любых таковой не является, ведь любое число в квадрате неотрицательно. Ответ: нет корней.
Пример 3. .
Уравнение имеет единственный корень, равный нулю. Ответ: 0.
Пример 4. .
Типичной ошибкой является ответ . На самом деле
. То есть уравнение имеет два корня. Ответ:
Пример 5. .
Перенесем число в правую часть. При этом слагаемое поменяет знак. Тогда
. Откуда
. Остается немного упростить полученное выражение. Ответ:
.
Пример 6. .
Важно не забыть проанализировать знак правой части. Число , так как
, поэтому уравнение не имеет корней. Ошибкой было бы считать, что
, ведь квадратный корень из отрицательного числа не существует.
Таким образом, в случае сначала упрощаем уравнение к виду
, затем определяем знак числа
. Если
, то корней нет. Если
, то
. И если
, то уравнение имеет два корня
.
б) случай
Уравнение имеет вид , где
.
Пример 7. .
Наша цель применить метод разложения на множители. Для этого в правой части должен быть 0, а в левой части - произведение. Вынесем за скобки, тогда
. Произведение равно нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому
или
, откуда
или
. То есть уравнение распалось на два более простых (линейных) уравнения. Ответ:
.
Пример 8.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
Далее разложим левую часть на множители.
Получим два линейных уравнения.
или
, откуда
или
.
Ответ:
Таким образом, в случае неполное квадратное уравнение решается методом разложения на множители.
Если у вас трудности с арифметическими вычислениями, потренироваться можно здесь.
Задачи для самостоятельного решения
Ответы
- 0; -3/7
- 0; 5/4
- -2; 2
- -4; 4
еще задачи здесь (номера 1-4, 29-34, ответы в комментариях)
еще статья Как решать квадратные уравнения