Как решать неполные квадратные уравнения
Квадратное уравнение имеет вид \(ax^2+bx+c=0\), где \(a\ne 0\). Если \(b=0\) или \(c=0\), то уравнение называется неполным и допускает решение без использования дискриминанта (подробнее о дискриминанте в статье Как решать квадратные уравнения). Рассмотрим каждый случай на примерах.
а) случай \(b=0\)
Неполное квадратное уравнение имеет вид \(ax^2+c=0\), где \(a\ne 0\).
Пример 1. \(2x^2+3=0\).
В этом уравнении корней нет, так как левая часть при любых значениях \(x\) положительна, в то время как правая часть равна нулю. Следовательно, равенство невозможно. Ответ: нет корней.
Пример 2. \(x^2=-4\).
Правая часть уравнения отрицательна (-4<0), а левая часть при любых \(x\) таковой не является, ведь любое число в квадрате неотрицательно. Ответ: нет корней.
Пример 3. \(x^2=0\).
Уравнение имеет единственный корень, равный нулю. Ответ: 0.
Пример 4. \(x^2=4\).
Типичной ошибкой является ответ \(x=2\). На самом деле \(x=\pm\sqrt{4}=\pm 2\). То есть уравнение имеет два корня. Ответ: \(\pm 2\)
Пример 5. \(2x^2-3=0\).
Перенесем число \(-3\) в правую часть. При этом слагаемое поменяет знак. Тогда \(2x^2=3\) \(\Leftrightarrow x^2=\displaystyle\frac{3}{2}\). Откуда \(x=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{3}{2}}\). Остается немного упростить полученное выражение. Ответ: \(\pm\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\).
Пример 6. \(x^2=2\sqrt{2}-3\).
Важно не забыть проанализировать знак правой части. Число \(2\sqrt{2}-3<0\), так как \(2\sqrt{2}<3\Leftrightarrow 8<9\), поэтому уравнение не имеет корней. Ошибкой было бы считать, что \(x=\pm\sqrt{2\sqrt{2}-3}\), ведь квадратный корень из отрицательного числа не существует.
Таким образом, в случае \(b=0\) сначала упрощаем уравнение к виду \(x^2=d\), затем определяем знак числа \(d\). Если \(d<0\), то корней нет. Если \(d=0\), то \(x=0\). И если \(d>0\), то уравнение имеет два корня \(x=\pm\sqrt{d}\).
б) случай \(c=0\)
Уравнение имеет вид \(ax^2+bx=0\), где \(a\ne 0\).
Пример 7. \(2x^2-3x=0\).
Наша цель применить метод разложения на множители. Для этого в правой части должен быть 0, а в левой части – произведение. Вынесем \(x\) за скобки, тогда \(x\cdot (2x-3)=0\). Произведение равно нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому \(x=0\) или \(2x-3=0\), откуда \(x=0\) или \(x=\displaystyle\frac{3}{2}\). То есть уравнение распалось на два более простых (линейных) уравнения. Ответ: \(0;\displaystyle\frac{3}{2}\).
Пример 8. \(2x(x+1)-6=3(x-2)\)
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\(2x^2+2x-6=3x-6\)
\(2x^2+2x-3x=6-6\)
\(2x^2-x=0\)
Далее разложим левую часть на множители.
\(x(2x-1)=0\)
Получим два линейных уравнения.
\(x=0\) или \(2x-1=0\), откуда \(x=0\) или \(x=\displaystyle\frac{1}{2}\).
Ответ: \(0;\displaystyle\frac{1}{2}\)
Таким образом, в случае \(b=0\) неполное квадратное уравнение решается методом разложения на множители.
Если у вас трудности с арифметическими вычислениями, потренироваться можно здесь.
Задачи для самостоятельного решения
- \(-7x^2-3x=0\)
- \(4x^2-5x=0\)
- \(\displaystyle\frac{1}{4}x^2-1=0\)
- \(x^2-16=0\)
Ответы
- 0; -3/7
- 0; 5/4
- -2; 2
- -4; 4
еще задачи здесь (номера 1-4, 29-34, ответы в комментариях)
еще статья Как решать квадратные уравнения