Математика. Как решать квадратные уравнения

Как решать квадратные уравнения

квадратное уравнение

Алгоритм решения квадратного уравнения


Речь идет о поиске только действительных корней квадратного уравнения.

Шаг 1:  Записываем уравнение в стандартном виде

В общем виде квадратное уравнение можно записать так:

\(ax^2+bx+c=0\)

Здесь \(a\) – любое ненулевое число, \(b,c\)  – любые числа, a \(x\) – то число, которое необходимо найти. Такой вид уравнения называют стандартным. Например, \(2x^2-10x+20=0\) – квадратное уравнение в стандартном виде, причем \(a=2\), \(b=-10\) и \(c=20\). Число \(a\) называют старшим коэффициентом, число \(c\) – свободным коэффициентом. А все выражение вида \(ax^2+bx+c\) называют квадратным трехчленом.

Типичная ошибка: считать, что \(b=10\), то есть забыть про знак “-“.

Cтоит заметить, что все коэффициенты уравнения \(2x^2-10x+20=0\) можно уменьшить в \(2\) раза. Уравнение примет вид \(x^2-5x+10=0\). Числа \(a\), \(b\) и \(c\), естественно, изменились (уменьшились!). Зато корни уравнения остались прежними. Поэтому всегда стоит проверять, а нельзя ли таким образом упростить уравнение, чтобы легче было далее находить корни.

Итак, первым делом необходимо привести квадратное уравнение  к стандартному виду. Для этого можно раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, переносить слагаемые из одной части уравнения в другую (при этом слагаемые меняют знак). Например, \(2x(x-1)+x=4(x-2)+2\). Раскрываем скобки: \(2x^2-2x+x=4x-8+2\). Приводим подобные слагаемые: \(2x^2-x=4x-6\). Переносим все слагаемые из правой части в левую: \(2x^2-x-4x+6=0\) (повторю: такие слагаемые меняют свой знак).  И опять приводим подобные слагаемые: \(2x^2-5x+6=0\). Получим квадратное уравнение в стандартном виде. Причем \(a=2\), \(b=-5\) и \(c=6\).

Типичная ошибка: забыть поменять знак слагаемого при переносе.

Типичная ошибка: перепутать слагаемые местами и неправильно определить коэффициенты. Например, \(x^2-3+4x=0\). И кажется, что \(a=1\), \(b=-3\) и \(c=4\). На самом деле, \(a=1\), \(b=4\) и \(c=-3\).

Интересный случай: предположим, что получилось уравнение \(3x^2-3=0\). Чему равно \(b\)? На этот вопрос не каждый может ответить уверенно. Ответ: \(b=0\).

Интересный случай: дано уравнение \(x(x+1)-2=x^2+2x\). Мы смело раскрываем скобки и переносим \(x^2\) и \(2x\) из правой части в левую. Но после приведения подобных слагаемых получается уравнение \(-x-2=0\).  Нет \(x^2\)! Ни о каком стандартном виде квадратного уравнения здесь не может быть и речи просто потому, что это не квадратное уравнение, а совсем другая история под названием “Линейное уравнение”.

Замечание: опытные в квадратных уравнениях математики советуют всегда делать коэффициент \(a\) положительным. Для этого левую и правую части уравнения всегда можно домножить на \(-1\). Например, \(-3x^2+4x-10=0\) заменим на \(3x^2-4x+10=0\). По-простому говоря, каждое слагаемое меняет знак. Да, это другое уравнение и коэффициенты другие. Но корни у него такие же, как и у исходного уравнения. Поэтому далее спокойно можно работать с новым. Зачем делать \(a\) положительным? Например, затем, чтобы было меньше арифметических ошибок, когда будем находить дискриминант. Что такое дискриминант, узнаем в следующем шаге.

Шаг 2: Находим дискриминант.

У нас есть квадратное уравнение в виде \(ax^2+bx+c=0\). Вычисляем число \(D=b^2-4ac\), которое называется дискриминантом квадратного уравнения. Например, для уравнения \(2x^2-3x+1=0\) дискриминант равен \(D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1\).

Типичная ошибка: часто вместо \((-3)^2\) пишут  \(-3^2\), то есть забывают скобки, но это уже \(-9\), а не \(9\).

Типичная ошибка: неправильно определяют коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\)

Типичная ошибка: в слагаемом \(-4ac\) неправильно определяют окончательный знак. Например, в \(-4\cdot (-1)\cdot (-3)\) все-таки в итоге получается \(-12\), а не \(12\).

Редкая ошибка: дискриминант пишут с большой буквы, видимо, из уважения или считая, что это фамилия.

Шаг 3: Находим корни уравнения

У нас есть дискриминант \(D\). Далее все зависит от его знака.

Если \(D<0\), то корней у уравнения нет. Ответ: корней нет. Вот так внезапно решение закончилось. Например, в уравнении \(x^2-x+1=0\) дискриминант равен \(-3<0\). Поэтому корней нет. Кстати, что это значит? Это значит, что какое бы число вы не выбрали, подстановка его в выражение \(x^2-x+1\) вместо \(x\) никогда не даст \(0\). Проверим число \(2\), например: \(2^2-2+1=4-2+1=3\). Не ноль. То есть \(2\) – не корень. Аналогично с любым другим числом: ноль никогда не получится.

Если \(D=0\), то \(x=\displaystyle\frac{-b}{2a}\). Числа \(a\) и \(b\) – это как раз те коэффициенты из стандартной записи уравнения. Например, в уравнении \(x^2-4x+4=0\) дискриминант \(D=0\). Тогда \(x=\displaystyle\frac{-(-4)}{2\cdot 1}=2\). Ответ: \(2\).

Типичная ошибка: неправильно подставляют \(b\) в формулу \(\displaystyle\frac{-b}{2a}\). Ошибаются со знаком. Ведь если \(b=-3\), например, то \(-b=3\).

Если \(D>0\). То в ответе будет два корня, которые можно найти по формулам \(x=\displaystyle\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) и \(x=\displaystyle\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\). Например, в уравнении \(x^2-5x+6=0\) дискриминант \(D=1>0\). Тогда \(x=\displaystyle\frac{5-\sqrt{1}}{2\cdot 1}\) и \(x=\displaystyle\frac{5+\sqrt{1}}{2\cdot 1}\). Так как \(\sqrt{1}=1\), то \(x=2\) и \(x=3\). Ответ: \(2; 3\).

Замечание: часто для сокращения пишут две формулы в одной: \(x=\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

Замечание: иногда дискриминант может оказаться “некрасивым”, например, \(D=137\). Такое может быть, и терять самообладание не стоит. Совет один: перепроверить решение и, если ошибка не найдена, со спокойной совестью решать дальше. Чаще всего задачи придумывают так, чтобы дискриминант были полным квадратом (кстати, полезно выучить таблицу квадратов чисел от 1 до 20). Но иногда попадаются ответы вида \(-3\sqrt{2}\pm\sqrt{137}\).

Типичная ошибка: неправильно находят \(\sqrt{D}\). Например, считают, что \(\sqrt{D}=\sqrt{9}=\pm 3\). На самом деле, \(\sqrt{9}=3\). Отрицательным выражение\(\sqrt{D}\) быть не может (по определению арифметического квадратного корня).

Вот и весь алгоритм. Конечно, есть еще много деталей. Например, есть неполные квадратные уравнения, когда лучше решать способами без дискриминанта. Есть еще уравнения, сводящиеся к квадратным. Есть еще поиск комплексных корней квадратного уравнения (для ЕГЭ это излишне). Кстати, проверить свое решение квадратного уравнения всегда можно здесь. Далее стоит изучить теорему Виета, понять, а как возникает формула для дискриминанта, как быть с уравнением третьей степени.

Полный пример решения квадратного уравнения.

Условие

Решить уравнение \((2x+7)(7-2x)-x(x+2)=47\)

Решение

Согласно алгоритму, раскрываем скобки: \(2x\cdot 7+2x\cdot (-2x)+7\cdot 7+7\cdot (-2x)-x\cdot x-x\cdot 2=47\).
На всякий случай, расписал все подробно. Но вообще такие действия надо научиться делать почти устно. Более того, лучше заметить, что к первому слагаемому применима формула сокращенного умножения, точнее, разность квадратов. Такие формулы позволяют значительно экономить время и силы (потренироваться можно здесь).
Но продолжим решение: \(14x-4x^2+49-14x-x^2-2x=47\). Приводим подобные слагаемые и переносим \(47\) в левую часть уравнения: \(-5x^2-2x+49-47=0\)\(\Leftrightarrow -5x^2-2x+2=0\).
Изменим знак \(a\): \(5x^2+2x-2=0\).
Находим дискриминант. Так как \(a=5\), \(b=2\) и \(c=-2\), то \(D=2^2-4\cdot 5\cdot (-2)=4+40=44\). Дискриминант \(D>0\), поэтому у уравнения два корня: \(x=\displaystyle\frac{-2+\sqrt{44}}{10}\) и \(x=\displaystyle\frac{-2-\sqrt{44}}{10}\).
Осталось заметить, что корни можно упростить, ведь \(\sqrt{44}=\sqrt{4\cdot 11}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{11}=2\sqrt{11}\).
Получаем окончательный ответ, который запишем одной формулой: \(x=\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{11}}{5}\).
Как видите, малейшая неточность в арифметических вычислениях – и весь труд в итоге напрасен.
Поэтому стоит потренироваться выполнять арифметические вычисления устно и без ошибок.

Ответ:  \(\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{11}}{5}\)

Задачи для самостоятельного решения

Номера 41, 42, 43, 51, 52, 53  (ответы находятся после условий)

все статьи по математике