Математический минимум для начала обучения программированию

Речь идет о списке задач по школьной математике, которые крайне необходимо уметь решать до начала обучения программированию. Хотя можно рискнуть и без математики, но все равно придется разбираться по ходу обучения.

Итак, задачи (версия 1.0).

Арифметика

1. Вычислите \((-4):(-1^4)\cdot (-2)^2-6\cdot(-3-2^0)\)
2. Вычислите \((1\frac{3}{4}:1,25-1,75:\frac{2}{3})-(-0,(6))\)
3. Упростите \(|0|-|-3|+|2|\cdot |\sqrt{2}-1,5|\)
4. Упростите \(\displaystyle\frac{2^{-1}\cdot 3^{-2} \cdot 8^{-3}}{(-2)^{2}\cdot (-6)^{2} \cdot (-4^2)^3}+\displaystyle\frac{2^3\cdot 4^5}{8^2\cdot 16^2}\)
5. Упростите \(\displaystyle\frac{4\sqrt{28}\cdot\sqrt{6}}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{9+18}}+(\sqrt{15}-2\sqrt{2})(\sqrt{15}+2\sqrt{2})\)
6. Даны числа \(0\), \(-\sqrt{2}\), \(33\), \(7\), \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(1\), \(\sqrt{4}\), \(-7\), \(4\), \(0.5\). Укажите:  а) отрицательные; б) четные; в) простые; г) противоположные; д) взаимно обратные; е) неотрицательные; ж) взаимно простые с числом 12; з) иррациональные; и) целые, кратные 3; к) числа, которые не превосходят по модулю 1,5; л) среднее арифметическое наибольшего и наименьшего чисел; м) среднее геометрическое двух наибольших положительных чисел. Дайте определения  натуральным, целым, рациональным, иррациональным, действительным числам.
7. Найдите сумму простых делителей числа 168 и произведение тех делителей числа 168, которые при делении на 5 дают в остатке 2 .
8. Найдите частное от деления НОК на НОД трех чисел 126, 30, 400.
9. Что больше 12% от 50 или 7% от 87?
10. Найдите число, если 45% его составляют 20% от  86.
11.  Рейтинговое агентство определяет рейтинг соотношения «цена-качество» микроволновых печей. Рейтинг вычисляется на основе средней цены P и оценок функциональности F , качества Q и дизайна D . Каждый отдельный показатель оценивается экспертами по 5-балльной шкале целыми числами от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле \(R=8(F+Q)+4D-0,01P\).  В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких моделей печей. Определите, какая модель имеет наивысший рейтинг. В ответе запишите значение этого рейтинга.

    Модель печи	Средняя цена	Функциональность	Качество	Дизайн
    А	5800	2	2	4
    Б	4200	1	0	1
    В	4300	4	3	2
    Г	3900	2	0	3

Преобразование выражений

1. Упростите \(x(x-2)(x+1)-(x-1)^2(x+2)\)
2. Упростите \(\displaystyle \frac{2}{3-\frac{1}{x}}-\frac{x}{1-3x}\)
3. Упростите \(\displaystyle\frac{x^2-(-y)^2}{(y^2-x^2)^2}:\frac{1}{x+y}\)
4. При каком \(x\) значение выражения \(\frac{1}{1-x}+\sqrt{x-4}\) существует?
5. Найдите значение выражения \(\displaystyle\frac{1}{4x}-\frac{4x+y}{4xy}\) при \(x=\sqrt{22}, y=\frac{1}{6}\)

Уравнения, неравенства и системы

1. Решите уравнение \(4(-x+2)-7(2x+3)=5-(1-x)\)
2. Решите уравнение \(\displaystyle\frac{5-x}{4}-\frac{3x-2}{2}=3\)
3. Решите уравнение а) \(7x^2+16=2(8-x)\); б) \(5x^2-8x+3=2x^2-8x+5\)
4. Решите уравнение \(2x^2+2x-4=0\)
5. Решите уравнение \(-2|x-3|=-4\)
6. Решите уравнение \(\sqrt{3-x}=2\)
7. Решите систему уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} \frac{5}{8x-11}=\frac{4}{y},\\5x+11y=74\end{array}\right.\).
8. Решите неравенство а) \(|x|>4\);  б) \(|x+1|\leq 2\)
9. Найдите целочисленное решение системы неравенств \(\left\{\begin{array}{l l} 7x+2>x-2,\\ 2-5x>0\end{array}\right.\)
10. При каких значениях \(x\) верно хотя бы одно из неравенств \(x^2-16\leq 0\) и \( -10\leq x <2 \)?

Последовательности и функции

1. Последовательность задана условиями \(b_1=4\), \(b_{n+1}=-\displaystyle\frac{1}{b_n}\). Найдите \(b_4\).
2. Дана последовательность \((a_n)\), где \(a_n = 3n-1\) для любого натурального \(n\). Найдите сумму первых четырех элементов этой последовательности и выразите через n выражение \(a_{n+2}-a_{n-2}+b_n\), где \(b_{n+1}=2n+a_n\).
3. Подберите формулу n-го члена последовательности: а) 1, 3, 5, 7, …; б) \(\frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \frac{6}{5}\) … .
4. Найдите сумму \(2+4+6+\ldots+2n\), \(n\in N\).
5. Найдите а)\(f(0)-f(1)\); б) \(f(1-x)\), если \(f(x)=2x^2-x\)

Координатная плоскость

1. Даны точки A(1;2), B(3;4), C(-3; 0). Найдите уравнение прямой AB, длину отрезка CB, координату середины отрезка AC.
2. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

   

3. Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке.

   

Задачи после минимума

1. Остаток от деления натурального числаnна 12 равен 5, остаток от деления n на 16 равен 9. Чему равен остаток от деления наименьшего из возможных чисел n на 24?
2. Найдите \(\frac{3x^2-2xy+y^2}{5x^2+2y^2}\), если \(\frac{11y-4x}{5x-7y}=1\)
3. Изобразите множество \(x^2-2x+y^2<=0\) на координатной плоскости.
4. Упростите  \(\log_33,6-\log_31,4+\log_3\frac{7}{6}\)
5. Решите неравенство  \(||2x+1|-5|>2\)
6. Найдите такие числа \(a\) и \(b\), что при всех значениях \(x\) справедливо равенство \((x^2+5x+6)(x+a)=(x^2-9)(x+b)\).
7. Найдите все действительные значения \(p\) и \(q\), при которых многочлен \(x^4+1\) делится на многочлен \(x^2+px+q\).
8. Несколько человек стоят прямоугольником. В каждой шеренге выбрали самого нижнего, в каждом ряду самого высокого. Кто выше: самый низкий из высоких или самый высокий из низких?
9. Продолжите последовательность чисел: 1, 11, 21, 1112, 3112, 211213, 312213, 212223, 114213, … .
10. От города A до города B расстояние 40 км. Два велосипедиста выехали из A и из B одновременно и навстречу друг другу, один со скоростью 10 км/час, а другой – 15 км/час. Муха вылетела из A с первым велосипедистом со скоростью 100 км/час, долетела до второго, села ему на лоб и полетела обратно к первому, села ему на лоб, вернулась ко второму и так далее, пока они не столкнулись лбами и не раздавили ими муху. Сколько километров она пролетела всего?