Решебник домашнего задания урока 35
В.В. Ткачук  “Математика – абитуриенту”

Задачи 1-3

Рассмотрим решение задач с номерами 1-3 домашнего задания урока 35 на тему: “Задачи с параметрами. Квадратные уравнения и неравенства“. Весь список домашних заданий и их решений здесь.

Задача 1. Так как корни должны существовать, то требуем, чтобы дискриминант был неотрицательным, то есть \(a^2-4a+4\geq 0\) \(\Leftrightarrow a\in (-\infty; 2-2\sqrt{2}]\cup[2+2\sqrt{2};+\infty)\) . Так как \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\), а по теореме Виета \(x_1+x_2=a\) и \(x_1x_2=a+1\), то приходим к неравенству \(a^2-2a-3>0\) \(\Leftrightarrow a\in (-\infty; -1)\cup (3; +\infty)\). С учетом неравенства для дискриминанта, получаем ответ: \((-\infty; -1)\cup[2+2\sqrt{2};+\infty)\).

Задача 2. Так как корни должны существовать, то требуем, чтобы дискриминант был неотрицательным, то есть \(1-4a\geq 0\) \(\Leftrightarrow a\in (-\infty; 1/4]\) . Так как \(x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)\), а по теореме Виета \(x_1+x_2=1\) и \(x_1x_2=a\), то приходим к неравенству \(1-3a\leq 1\) \(\Leftrightarrow a\in [0; +\infty)\). С учетом неравенства для дискриминанта, получаем ответ: \([0;1/4]\).

Задача 3. Заметим, что \(x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2\), а \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\), то есть \(x_1^4+x_2^4=((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)^2-2x_1^2x_2^2\) . Так как по теореме Виета \(x_1+x_2=1\) и \(x_1\cdot x_2=a\), то \(x_1^4+x_2^4=(1-2a)^2-2a^2\). Далее решаем неравенство \((1-2a)^2-2a^2\geq 1\) \(\Leftrightarrow a(a-2)\geq 0\) \(\Leftrightarrow a\in (-\infty; 0]\cup [2;+\infty)\). Осталось вспомнить, что теорема Виета применима только если корни существуют, то есть дискриминант \(1-4a\geq 0\). Тогда окончательный ответ имеет вид \(a\in (-\infty; 0]\).