Решебник домашнего задания урока 35
В.В. Ткачук  "Математика - абитуриенту"

Задачи 1-3

Рассмотрим решение задач с номерами 1-3 домашнего задания урока 35 на тему: "Задачи с параметрами. Квадратные уравнения и неравенства". Весь список домашних заданий и их решений здесь.

Задача 1. Так как корни должны существовать, то требуем, чтобы дискриминант был неотрицательным, то есть $a^2-4a+4\geq 0$ $\Leftrightarrow a\in (-\infty; 2-2\sqrt{2}]\cup[2+2\sqrt{2};+\infty)$ . Так как $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$, а по теореме Виета $x_1+x_2=a$ и $x_1x_2=a+1$, то приходим к неравенству $a^2-2a-3>0$ $\Leftrightarrow a\in (-\infty; -1)\cup (3; +\infty)$. С учетом неравенства для дискриминанта, получаем ответ: $(-\infty; -1)\cup[2+2\sqrt{2};+\infty)$.

Задача 2. Так как корни должны существовать, то требуем, чтобы дискриминант был неотрицательным, то есть $1-4a\geq 0$ $\Leftrightarrow a\in (-\infty; 1/4]$ . Так как $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)$, а по теореме Виета $x_1+x_2=1$ и $x_1x_2=a$, то приходим к неравенству $1-3a\leq 1$ $\Leftrightarrow a\in [0; +\infty)$. С учетом неравенства для дискриминанта, получаем ответ: $[0;1/4]$.

Задача 3. Заметим, что $x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2$, а $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$, то есть $x_1^4+x_2^4=((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)^2-2x_1^2x_2^2$ . Так как по теореме Виета $x_1+x_2=1$ и $x_1\cdot x_2=a$, то $x_1^4+x_2^4=(1-2a)^2-2a^2$. Далее решаем неравенство $(1-2a)^2-2a^2\geq 1$ $\Leftrightarrow a(a-2)\geq 0$ $\Leftrightarrow a\in (-\infty; 0]\cup [2;+\infty)$. Осталось вспомнить, что теорема Виета применима только если корни существуют, то есть дискриминант $1-4a\geq 0$. Тогда окончательный ответ имеет вид $a\in (-\infty; 0]$.