Геометрия. Планиметрия
Формулы для произвольного треугольника
- Медиана треугольника.
\(m_c=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}\)
\(c=\displaystyle\frac{2}{3}\sqrt{2(m_a^2+m_b^2)-m_c^2}\)
Обратите внимание, что медиана проведена именно к стороне \(c\). - Биссектриса треугольника.
\(\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{m}{n}\)
\(l_c=\sqrt{ab-mn}\)
\(l_c=\displaystyle\frac{2ab\cos\gamma}{a+b}\)
\(l_c=\displaystyle\frac{\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}\)
Обратите внимание, что биссектриса проведена именно к стороне \(c\) - Теорема косинусов.
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\)
- Теорема синусов.
\(\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\)
\(\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=2R\) (следствие)
- Площадь треугольника.
\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot a\cdot h\)
\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin\alpha\)
\(S=\displaystyle\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) (формула Герона),
где \(p=\displaystyle\frac{a+b+c}{2}\) (полупериметр)
- Радиус вписанной окружности.
\(r=\displaystyle\frac{2S}{P}\), где
\(P=a+b+c\) (периметр)
\(\displaystyle\frac{1}{r}=\frac{1}{h_c}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\)
- Радиус описанной окружности.
\(R=\displaystyle\frac{abc}{4S}\)
\(R=\displaystyle\frac{a+b+c}{2(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)}\)
- Теорема Менелая.
\(\displaystyle\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\displaystyle\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\displaystyle\frac{CB_1}{B_1A}=1\)
