Геометрия. Планиметрия

Формулы для произвольного треугольника

к содержанию справочника

1. Медиана треугольника.

   $m_c=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}$

   $c=\displaystyle\frac{2}{3}\sqrt{2(m_a^2+m_b^2)-m_c^2}$

   Обратите внимание, что медиана проведена именно к стороне $c$.

2. Биссектриса треугольника.

   $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$

   $l_c=\sqrt{ab-mn}$

   $l_c=\displaystyle\frac{2ab\cos\gamma}{a+b}$

   $l_c=\displaystyle\frac{\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}$

   Обратите внимание, что биссектриса проведена именно к стороне $c$

3. Теорема косинусов.

   $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$

   

4. Теорема синусов.

   $\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}$

   $\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=2R$ (следствие)

   

5. Площадь треугольника.

   $S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$

   $S=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin\alpha$

   $S=\displaystyle\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (формула Герона),
   где $p=\displaystyle\frac{a+b+c}{2}$ (полупериметр)

   

6. Радиус вписанной окружности.

   $r=\displaystyle\frac{2S}{P}$, где

   $P=a+b+c$ (периметр)

   $\displaystyle\frac{1}{r}=\frac{1}{h_c}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}$

   

7. Радиус описанной окружности.

   $R=\displaystyle\frac{abc}{4S}$

   $R=\displaystyle\frac{a+b+c}{2(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)}$

   

8. Теорема Менелая.

   $\displaystyle\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\displaystyle\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\displaystyle\frac{CB_1}{B_1A}=1$