Варианты олимпиады МФТИ 2015 г. по математике

11 класс

Вариант 11 с ответами

1. Решите уравнение $x^{\log_2(8x)}=\displaystyle\frac{x^7}{8}$ Решение
2. Решите уравнение $\displaystyle\frac{1}{2}|\cos 2x+\frac{1}{2}|=\sin^2 3x-\sin x\cdot\sin 3x$ Решение
3. Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $242400$ и таких, что $k^2+2k$ делится нацело на 303. Решение
4. Решите систему $\left\{\begin{array}{l l} 3x\ge 2y+16 ,\\x^4+2x^2y^2+y^4+25-26x^2-26y^2=72xy \end{array}\right.$
5. На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S отмечена точка K такая, что AK:KS=3:2. Точка K является вершиной прямого кругового конуса, на окружности основания которого лежат три вершины пирамиды SABCD.
   а) Найдите отношение CS:CD.
   б) Пусть дополнительно известно, что высота пирамиды SABCD равна 5. Найдите объём конуса.
6. Найдите все значения параметра $b$, для каждого из которых найдется такое число $a$, что система $\left\{\begin{array}{l l} y=-b-x^2,\\x^2+y^2+8a^2=4+4a(x+y)\end{array}\right.$ имеет хотя бы одно решение $(x;y)$.
7. В углы A и B треугольника ABC вписаны соответственно окружности с центрами O₁ и O₂ равного радиуса, точка O - центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Данные окружности касаются стороны AB в точках K₁, K₂ и K соответственно, при этом AK₁=4, BK₂=6 и AB=16.
   а) Найдите длину отрезка AK.
   б) Пусть окружность с центром O₁ касается стороны AC в точке K₃. Найдите угол CAB, если известно, что точка O₁ является центром окружности, описанной около треугольника OK₁K₃.

Вариант 12 c ответами

1. Решите уравнение $x^{\log_3(27x^2)}=\displaystyle\frac{x^9}{81}$
2. Решите уравнение $\displaystyle\frac{1}{2}|\cos 2x-\frac{1}{2}|=\cos^2 3x+\cos x\cdot\cos 3x$
3. Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $353500$ и таких, что $k^2+k$ делится нацело на 505.
4. Решите систему $\left\{\begin{array}{l l} 2x\ge 14+y ,\\x^4+2x^2y^2+y^4+144-40x^2-40y^2=128xy \end{array}\right.$
5. На ребре SB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S отмечена точка L такая, что BL:LS=2:5. Точка L является вершиной прямого кругового конуса, на окружности основания которого лежат три вершины пирамиды SABCD.
   а) Найдите отношение AS:CD.
   б) Пусть дополнительно известно, что высота пирамиды SABCD равна 7. Найдите объём конуса.
6. Найдите все значения параметра $a$, для каждого из которых найдется такое число $b$, что система $\left\{\begin{array}{l l} y=x^2-a,\\x^2+y^2+8b^2=1+4b(y-x)\end{array}\right.$ имеет хотя бы одно решение $(x;y)$.
7. В углы B и C треугольника ABC вписаны соответственно окружности с центрами O₁ и O₂ равного радиуса, точка O - центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Данные окружности касаются стороны BC в точках K₁, K₂ и K соответственно, при этом BK₁=4, CK₂=8 и BC=18.
   а) Найдите длину отрезка CK.
   б) Пусть окружность с центром O₁ касается стороны AB в точке K₃. Найдите угол ABC, если известно, что точка O₁ является центром окружности, описанной около треугольника OK₁K₃.

Ответы:

Вариант 11

1. 2; 8
2. $\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}, k\in Z$
3. 3200
4. (6;1)
5. a) $\sqrt{3}$; б) $V=\frac{9\pi}{\sqrt{5}}$
6. $b\le 2\sqrt{2}+\frac{1}{4}$
7. а) $\frac{32}{5}$; б) $2\arcsin\frac{3}{5}=\arccos\frac{7}{25}$

Вариант 12

1. 3; 9
2. $\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}, k\in Z$
3. 2800
4. (8;2)
5. a) $\sqrt{\frac{5}{3}}$; б) $V=\frac{125\pi}{\sqrt{21}}$
6. $a\ge -\sqrt{2}-\frac{1}{4}$
7. а) 12; б) 60^o

еще Варианты вступительных в МФТИ