Решение олимпиады МФТИ 2015 11 класс

Условия задач здесь

Вариант 11

1. Возьмем логарифм по основанию 2 от обеих частей уравнения. Тогда $\log_2 x\cdot\log_2(8x)=\log_2 (x^7)-\log_2 8$, что равносильно $\log_2^2 x+3\log_2x=7\log_2 x-3\Leftrightarrow \log_2^2x-4\log_2x+3=0$, откуда $\log_2x=1$ или $\log_2x=3$, то есть $x=2$ или $x=8$.
2. Преобразуем правую часть уравнения $\sin^23x-\sin x\cdot\sin 3x=\sin 3x (\sin 3x-\sin x)=\sin 3x\cdot 2\cos 2x\cdot \sin x$ $=\cos 2x\cdot(2\sin x\cdot\sin 3x)=\cos 2x\cdot (\cos 2x-\cos 4x)$= $\cos 2x\cdot (-2\cos^2 2x+\cos 2x+1)=\cos 2x\cdot (2\cos 2x+1)(1-\cos 2x)$. Пусть $\cos 2x=t$. Тогда $\displaystyle\frac{1}{4}|2t+1|=t(2t+1)(1-t)$.
   Рассмотрим три случая.
   а) $t=-\displaystyle\frac{1}{2}$. Тогда $\cos 2x=-\frac{1}{2}$
   б)  $t<-\frac{1}{2}$. Тогда $-\displaystyle\frac{1}{4}=-t^2+t$ и $t=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{2}}{2}$. Оба значения не удовлетворяют условию $t<-\displaystyle\frac{1}{2}$
   в) $t>-\frac{1}{2}$. Тогда $\displaystyle\frac{1}{4}=-t^2+t$ и $t=\displaystyle\frac{1}{2}$.
   В результате $\cos 2x=\pm\displaystyle\frac{1}{2}$ и $x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}, k\in Z$
3. Так как $303=3\cdot 101$, то одно из чисел $k$ или $k+2$ делится на $101$. Рассмотрим два случая.
   а) $k$ делится на $101$, то есть $k=101p, p\in Z$. Тогда $101p(101p+2)$ делится на $3\cdot 101$, то есть $p(101p+2)$ делится на 3. Первый множитель делится на 3 при $p=3q, q\in Z$, а второй - при $p=3q+2, q\in Z$, откуда $k=303q$, $k=303q+202, q\in Z$.
   б) Если $k+2$ делится на 101, то $k=101p+99, p\in Z$ и $(101p+99)(p+1)$ делится на 3. Первый множитель делится на 3 при $p=3q, q\in Z$, а второй - при $p=3q+2, q\in Z$, откуда получаем, что $k=303q+99$, $k=303q+301, q\in Z$.
   Итак, условию задачи удовлетворяют числа, дающие остатки 0, 202, 99, 301 при делении на 303, то есть подходят каждые 4 из 303 подряд идущих чисел. Так как $242400=303\cdot 800$, получаем $4\cdot 800=3200$ чисел.

еще Варианты вступительных в МФТИ