Решение олимпиады МФТИ 2015 11 класс
Условия задач здесь
Вариант 11
- Возьмем логарифм по основанию 2 от обеих частей уравнения. Тогда \(\log_2 x\cdot\log_2(8x)=\log_2 (x^7)-\log_2 8\), что равносильно \(\log_2^2 x+3\log_2x=7\log_2 x-3\Leftrightarrow \log_2^2x-4\log_2x+3=0\), откуда \(\log_2x=1\) или \(\log_2x=3\), то есть \(x=2\) или \(x=8\).
- Преобразуем правую часть уравнения \(\sin^23x-\sin x\cdot\sin 3x=\sin 3x (\sin 3x-\sin x)=\sin 3x\cdot 2\cos 2x\cdot \sin x\) \(=\cos 2x\cdot(2\sin x\cdot\sin 3x)=\cos 2x\cdot (\cos 2x-\cos 4x)\)= \(\cos 2x\cdot (-2\cos^2 2x+\cos 2x+1)=\cos 2x\cdot (2\cos 2x+1)(1-\cos 2x)\). Пусть \(\cos 2x=t\). Тогда \(\displaystyle\frac{1}{4}|2t+1|=t(2t+1)(1-t)\).
Рассмотрим три случая.
а) \(t=-\displaystyle\frac{1}{2}\). Тогда \(\cos 2x=-\frac{1}{2}\)
б) \(t<-\frac{1}{2}\). Тогда \(-\displaystyle\frac{1}{4}=-t^2+t\) и \(t=\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{2}}{2}\). Оба значения не удовлетворяют условию \(t<-\displaystyle\frac{1}{2}\)
в) \(t>-\frac{1}{2}\). Тогда \(\displaystyle\frac{1}{4}=-t^2+t\) и \(t=\displaystyle\frac{1}{2}\).
В результате \(\cos 2x=\pm\displaystyle\frac{1}{2}\) и \(x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}, k\in Z\) - Так как \(303=3\cdot 101\), то одно из чисел \(k\) или \(k+2\) делится на \(101\). Рассмотрим два случая.
а) \(k\) делится на \(101\), то есть \(k=101p, p\in Z\). Тогда \(101p(101p+2)\) делится на \(3\cdot 101\), то есть \(p(101p+2)\) делится на 3. Первый множитель делится на 3 при \(p=3q, q\in Z\), а второй – при \(p=3q+2, q\in Z\), откуда \(k=303q\), \(k=303q+202, q\in Z\).
б) Если \(k+2\) делится на 101, то \(k=101p+99, p\in Z\) и \((101p+99)(p+1)\) делится на 3. Первый множитель делится на 3 при \(p=3q, q\in Z\), а второй – при \(p=3q+2, q\in Z\), откуда получаем, что \(k=303q+99\), \(k=303q+301, q\in Z\).
Итак, условию задачи удовлетворяют числа, дающие остатки 0, 202, 99, 301 при делении на 303, то есть подходят каждые 4 из 303 подряд идущих чисел. Так как \(242400=303\cdot 800\), получаем \(4\cdot 800=3200\) чисел.