Условия задач олимпиады по математике МФТИ 2015

1. Решите уравнение $\displaystyle\frac{|\cos x|-\cos 3x}{\cos x\cdot\sin 2x}=\frac{2}{\sqrt{3}}$
2. Решите уравнение $\displaystyle (\frac{3x}{2})^{\log_3(8x)}=\frac{x^7}{8}$
3. Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих 291000 и таких, что $k^2-1$ делится на 291 нацело.
4. Решите систему  $\left\{\begin{array}{l l}x^2+y^2\le 2 ,\\81x^4-18x^2y^2+y^4-360x^2-40y^2+400=0\end{array}\right.$
5. На ребре $AA_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ взята точка $T$ такая, что $AT:A_1T=4:1$. Точка $T$ является вершиной прямого кругового конуса, такого что три вершины призмы принадлежат окружности основания. а) Найдите отношение высоты призмы к ребру ее основания; б) Пусть дополнительно известно, что $BB_1$ равно 5. Найдите объем конуса.
6. Найдите все значения параметра $b$, для каждого из которых найдется число $a$ такое, что система уравнений $\left\{\begin{array}{l l}x=|y-b|+\frac{3}{b} ,\\x^2+y^2+32=a(2y-a)+12x\end{array}\right.$ имеет хотя бы одно решение $(x,y)$.
7. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Две окружности $\Omega_1$ и $\Omega_2$ равных радиусов с центрами $O_1$ и $O_2$ вписаны в углы $BAD$ и $BCD$ соответственно. При этом первая окружность касается стороны $AD$ в точке $K$, а вторая окружность касается стороны $BC$ в точке $T$. а) Найдите радиус окружности $\Omega_1$, если $AK=2$ и $CT=8$. б) Пусть дополнительно известно, что точка $O_2$ является центром окружности, описанной около треугольника $BOC$. Найдите угол $BDC$.

Варианты вступительных экзаменов