Условия задач олимпиады по математике МФТИ 2017
Билет 1
- Когда к квадратному трехчлену \(f(x)\) прибавили 2, его наименьшее значение увеличилось на 1, а когда из него вычли \(x^2\), его наименьшее значение уменьшилось на 3. А как изменится наименьшее значение \(f(x)\), если к нему прибавить \(2x^2\)?
- Решите неравенство \(x^{\log_3x}-2\le(\sqrt[3]{3})^{\log_{\sqrt{3}}^2x}-2x^{\log_3\sqrt[3]{x}}\)
- Известно, что числа \(x,y,z\) образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью \(\alpha=arccos(-2/5)\), а числа \(3+\sin x,3+\sin y,3+\sin z\) образуют в указанном порядке непостоянную геометрическую прогрессию. Найдите \(\sin y\).
- В треугольнике ABC угол при вершине A в два раза больше угла при вершине C. Через вершину B проведена касательная ℓ к окружности Ω, описанной около треугольника ABC.
Расстояния от точек A и C до этой касательной равны соответственно 4 и 9.
а) Найдите расстояние от точки A до прямой BC.
б) Найдите радиус окружности Ω и длину стороны AB. - На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют целые неотрицательные координаты, а центр находится в точке (60;45). Найдите количество таких квадратов.
- Найдите все значения параметра \(b\) такие, что система \(\left\{\begin{array}{l l} x\cos a+y\sin a-2\le0,\\ x^2+y^2+6x-2y-b^2+4b+6=0 \end{array}\right.\) имеет хотя бы одно решение при любом значении параметра \(a\).
- Основание треугольной пирамиды ABCD – правильный треугольник ABC. Объем пирамиды равен \(25/\sqrt{3}\), а ее высота, проведенная из вершины D, равна 3. Точка M – середина ребра CD. Известно, что радиусы сфер, вписанных в пирамиды ABCM и ABDM, равны между собой. а) Найдите все возможные значения угла между гранями пирамиды при ребре AB; б) Найдите все возможные значения длины ребра CD, если дополнительно известно, что грани BCD и ABC взаимно перпендикулярны.