Варианты вступительных экзаменов по математике в МГУ на географический факультет.
Географический факультет МГУ, 2002 г.
- Решите уравнение
.
- Решите уравнение
.
- Квадратное уравнение
имеет два различных корня
и
. Числа
,
,
,
- четыре последовательных члена геометрической прогрессии. Найдите
и
.
- Тележка с передними колесами диаметром 40 см и задними колесами диаметром 50 см движется по прямой дороге, проходящей через точки А и В. Между точками А и В ровно 100 метров. Точка А покрашена. Через точку А проезжают правые колеса тележки и в точках соприкосновения с ней красятся. В свою очередь, при каждом соприкосновении с дорогой точки оставляют свой след в виде точек на дороге. Никакие точки на дороге, кроме точки А, колеса не окрашивают. Тележка движется по направлению от точки А в сторону точки B. Найдите: а) наименьшее расстояние между соседними окрашенными точками; б) количество окрашенных точек на отрезке AB.
- В треугольнике KLM проведена медиана LN. Известно, что угол KLM равен углу LNM, KM = 10. Найдите: а) сторону LM; б) угол LMK, если расстояние от точки M до центра описанной около треугольника KLN окружности равно 10.
- Решите систему
.
Географический факультет МГУ, 2003 г.
- Разность девятого и третьего членов знакочередующейся геометрической прогрессии равна ее шестому члену, умноженному на 24/5. Найдите отношение десятого к пятому члену прогрессии.
- Решите неравенство
.
- Непустое множество Х состоит из конечного числа N натуральных чисел. Четных чисел в Х меньше двух третей от N, а нечетных не больше 36% от N. Какое минимальное значение может принимать число N?
- Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника ABCD, перпендикулярны. Известно, что АС = 4, сумма углов CAB и DBA равна 75о. Найдите площадь четырехугольника ABCD и сравните ее с числом
.
- При каких значениях параметра
уравнение
имеет ровно два корня на отрезке
?
Ответы
2002 г
- 3/2
- (6; -18), (-4; -8)
- a)
; б) 128
- а)
; б)
,
2003 г
- 14
; меньше, чем