Вступительное испытание
по математике в МГУ 2018 года

Июль 2018 г

1. Какое из чисел $\displaystyle\frac{49}{18}$ и $\displaystyle\frac{79}{24}$ ближе к $3$?
2. Найдите все значения параметра $a$, при которых разность между корнями уравнения $x^2+3ax+a^4=0$ максимальна.
3. Решите уравнение $\sin 4x\cdot\cos 10x=\sin x\cdot\cos 7x$
4. Решите неравенство $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{\log_{\sqrt{3}-\sqrt{2}}x}\ge(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{\log_{x}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$
5. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $M$ - середина отрезка $AD$, а $N$ - произвольная точка отрезка $BC$. Пусть $K$ - пересечение отрезков $CM$ и $DN$, а $L$ - пересечение отрезков $MN$ и $AC$. Найдите все возможные значения площади треугольника $DMK$, если известно, что $AD:BC=3:2$, а площадь треугольника $ABL$ равна 4.
6. Найдите все значения параметра $a$, при которых система $\left\{\begin{array}{l l} ax^2+4ax-8y+6a+28\le0,\\ ay^2-6ay-8x+11a-12\le0\end{array}\right.$ имеет ровно одно решение.
7. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ с боковыми ребрами AA₁, BB₁, CC₁, DD₁. На ребрах AB, BC, CD, DA нижнего основания отмечены соответственно точки K, L, M, N таким образом, что AK:KB = 4:5, BL:LC = 3:1, CM:MD = 7:2, DN:NA = 3:1. Пусть P, Q, R - центры сфер, описанных около тетраэдров AKNA₁, BLKB₁, CMLC₁ соответственно. Найдите PQ, если QR = 1 и AB:BC = 3:2.
8. Найдите все пары чисел $x,y$ из промежутка $(0,\pi/2)$, при которых достигается минимум выражения $(\frac{\sqrt{3}\sin y}{\sqrt{2}\sin(x+y)}+1)(\frac{\sqrt{2}\sin x}{3\sin y}+1)^2(\frac{\sin(x+y)}{7\sqrt{3}\sin x}+1)^4$

Ответы

смотрите еще Вступительные экзамены и МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013