МГУ Многочлены

Многочлены

  1. Найдите сумму коэффициентов многочлена, который получится после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении  \((1-3x+3x^2)^{34}(1+5x-5x^2)^{249}\).
  2. Для каких значений параметра \(p\) отношение суммы коэффициентов многочлена \((px-7)^{18}\) к его свободному члену минимально?
  3. Делится ли многочлен \(x^5-3x^3+6x^2-2\) на \(x+4\) без остатка?
  4. Найдите остаток от деления многочлена \(x^{2002}+x^{2001}+x^{1002}+x^{1001}+x^2+x+1\) на \(x^3-x\).
  5. Найдите такие числа \(a\) и \(b\), что при всех значениях \(x\) справедливо равенство \((x^2+5x+6)(x+a)=(x^2-9)(x+b)\).
  6. Найдите все действительные значения \(p\) и \(q\), при которых многочлен \(x^4+1\) делится на многочлен \(x^2+px+q\).
  7. При каких значениях \(a\) и \(b\) многочлен \(x^4+x^2+2x^2+ax+b\) является квадратом некоторого квадратного трехчлена?
  8. Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с 1 дает полный квадрат.
  9. Сумма десяти чисел равна нулю, и сумма их попарных произведение равна нулю. Чему равна сумма кубов этих чисел?
  10. Пусть числа \(x\), \(y\), \(a\) и \(b\) такие, что \(x+y=a+b\) и \(x^2+y^2=a^2+b^2\). Выразите через числа \(a\) и \(b\) сумму \(x^n+y^n\), где \(n\geq 3\) – натуральное.

Ответы

  1. 1
  2. 7
  3. нет
  4. \(3x^2+3x+1\)
  5. a = -3, b = 2
  6. \(p=\sqrt{2}, q=1\) или \(p=-\sqrt{2}, q=1\)
  7. a = 7/8, b = 49/64
  8. 0
  9. \(a^n+b^n\)