Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников
-
В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота СН. Найдите АС, если МН = 10.
-
Дан квадрат ABCD. На сторонах ВС и CD выбраны точки К и N так, что BK =KC, CN : ND = 2 : 1. Отрезки AK и BN пересекаются в точке Т. Найдите площадь треугольника BTA, если площадь четырехугольника KCNT равна 13.
-
Найдите все целые \(a\) и \(b\) такие, что число \(a^4+4b^4\) является простым.
-
Докажите, что \(n^3+2\) не делится на 9 ни при каких натуральных \(n\)
-
В некоторой стране 15 городов, каждый из которых соединен дорогами не менее чем с 7 другими. Верно ли, что из любого города можно добраться до любого другого (возможно, проезжая через другие города)?
- На доске было записано арифметическое выражение, значение которого равно 2007. Вася поменял в этом выражении два знака действия местами, и значение выражения стало равным 2008. Приведите пример такого выражения.
-
Назовем число вида \(n^2-1\) почти квадратом натурального числа \(n\). Докажите, что произведение двух почти квадратов натуральных чисел всегда равно разности каких-то двух квадратов натуральных чисел.
- Каждая из точек плоскости покрашена в один из трех цветов, причем все три цвета используются. Верно ли, что при любой такой покраске можно выбрать окружность, на которой есть точки всех трех цветов?
- Набор, который состоит из целых чисел a, b и с, заменили на набор из чисел \(a-1, b+1\) и \(c^2\). В результате получившийся набор совпал с исходным. Найдите числа \(a, b\) и \(c\), если их сумма равна 2005.
- По кругу висят 250 лампочек. Все лампочки включены. Разрешается либо переключить любые 4 последовательные лампочки, либо 5 последовательных лампочек кроме средней. Можно ли выключить все лампочки?