Муниципальный этап, 2013-2014 гг.

6 класс

1. Найдите какое-нибудь решение ребуса AAA x B = AB x CA. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным – разные.
2. На день рождения к сладкоежке Васе пришли друзья. Каждый мальчик принѐс по 5 шоколадок, а каждая девочка принесла по 2 пирожных. Потом каждый мальчик (кроме Васи) съел по 4 пирожных, а каждая девочка – по 2 шоколадки. А сладкоежке Васе достались только 3 шоколадки и не досталось пирожных. Сколько друзей пришли на день рождения к Васе?
3. Из клетчатого квадрата 5x5 вырезали центральный квадратик 1x1. Разрежьте оставшуюся фигуру на 6 равных клетчатых фигур. Приведите какой-нибудь один пример разрезания.
4. В конце каждого урока физкультуры учитель проводит забег и даёт победителю забега три конфеты, а всем остальным ученикам – по одной. К концу четверти Петя заслужил 29 конфет, Коля – 30, а Вася – 33 конфеты. Известно, что один из них пропустил ровно один урок физкультуры, участвуя в олимпиаде по математике; остальные же уроков не пропускали. Кто из детей пропустил урок? Объясните свой ответ.
5. На годовщине свадьбы родителей Петя сказал, что суммарный возраст его братьев равен 7 годам, а суммарный возраст его сестёр равен 17 годам. Его сестра Маша сказала, что суммарный возраст её сестёр равен 5 годам, а суммарный возраст еѐ братьев равен 17 годам. Наконец, их брат Коля сказал, что суммарный возраст его братьев и сестёр равен 26 годам. Докажите, что кто-то из детей ошибся.

7 класс

1. Три ученика A, B и C участвовали в беге на 100 м. Когда A прибежал на финиш, B был позади него на 10 м, также, когда B финишировал, C был позади него на 10 м. На сколько метров на финише A опередил C?
2. Коля составил из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 три трехзначных числа (каждую цифру он использовал ровно один раз). Затем он сложил три полученных трехзначных числа. Какое наименьшее значение могла иметь сумма этих трех чисел?
3. а чудо-дереве растут 2013 бананов и 2013 ананасов. Разрешается срывать одновременно два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то тут же вырастет один ананас, а если сорвать один банан и один ананас, то вырастет банан. К осени на дереве остался ровно один плод. Какой это плод: банан или ананас? Обоснуйте свой ответ.
4. В поселке все телефонные номера 4-значные, имеют в своей записи только цифры 1, 2, 3 и у любых двух номеров цифры совпадают не более чем в одной позиции. Какое наибольшее число телефонных номеров может быть в этом поселке?

8 класс

1. Найдите сумму двух различных чисел a и b , удовлетворяющих равенству $a^2 + b = b^2 + a$.
2. Сейчас в семье кроме родителей есть сын и дочь, а суммарный возраст членов семьи равен 80 годам. Сколько лет сейчас детям, если 6 лет назад суммарный возраст членов семьи был равен 59 годам, а 12 лет назад – 42 годам?
3. Можно ли записать в клетки таблицы 100 x 100 числа 1, 2 и 3 так, чтобы все суммы: чисел в каждой строке, чисел в каждом столбце, чисел в каждой из двух диагоналей, были различны?
4. В остроугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из разных вершин, равен 60 градусам. Докажите, что эти высота и медиана равны по длине.
5. Шесть лягушек расположены по кругу, каждая на одной кочке. Раз в минуту две лягушки перепрыгивают на соседние кочки: одна – по часовой стрелке, другая – против часовой стрелки. Смогут ли все лягушки через некоторое время собраться на одной кочке?

9 класс

1. Найдите какие-нибудь одиннадцать последовательных натуральных чисел, сумма которых является точным квадратом.
2. Если каждый мальчик купит пирожок, а каждая девочка – булочку, то они потратят вместе на один рубль меньше, чем, если бы каждый мальчик купил булочку, а каждая девочка – пирожок. Известно, что пирожок и булочка стоят целое число рублей, и что мальчиков больше чем девочек. На сколько человек их больше?
3. В школьном турнире по волейболу каждая команда встречается с каждой по одному разу. После того, как к числу участников добавилась одна команда, количество встреч увеличилось на 20%. Сколько команд участвовало в первенстве?
4. Пусть O – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD, M – середина стороны AD. Пусть K и N – точки пересечения отрезков BM и AC, а также CM и BD. Докажите, что разность KM – KO равна радиусу окружности, вписанной в четырехугольник MKON.
5. На острове проживают рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы – лгут. У каждого из них про каждого из остальных спросили: «Кто это: рыцарь или лжец?». Суммарно в их ответах 32 раза было сказано: «Рыцарь», и 40 раз: «Лжец». Сколько на острове проживает рыцарей и сколько – лжецов, если известно, что рыцарей – больше?

10 класс

1. На кастинге два специалиста A и B из 70 кандидатов должны отобрать четверых для съемок в фильме. Они по очереди отсеивают кандидатов. В первом туре A отсеивает 11 кандидатов, во втором B отсеивает 10, затем вновь A – 9, снова B – 8, …, наконец A – одного кандидата. Первый специалист (A) стремится к тому, чтобы все четверо, отобранных для съемок, были светловолосыми. При каком наименьшем количестве светловолосых кандидатов это ему заведомо удастся?
2. Докажите, что для любых действительных чисел $a$,$b$,$c$ хотя бы одно из уравнений $x^2+2bx+2c=1$, $x^2+2cx+2a=1$, $x^2+2ax+2b=1$ имеет действительный корень.
3. Найдите значение выражения
   $A = ((10!+9!) (9!+8!) (8!+7!) ... (3!+2!) (2!+1!))/((10!-9!) (9!-8!) (8!-7!) ... (3!-2!) (2!-1!))$, где $n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n -1) \cdot n$.
4. Вписанная в треугольник ABC окружность пересекает медиану BM в точках E и F . Известно, что BE = MF . Докажите, что одна из сторон треугольника в два раза больше другой.
5. У Пети и Васи две одинаковых колоды из 30 карточек, на которых написаны числа 1, 2, …, 30. Петя перемешал свою колоду и положил ее стопкой на стол, потом Вася перемешал свою колоду и положил ее стопкой сверху на первую стопку. Ребята подсчитали количество карточек, расположенных между парами карточек с одинаковыми записанными на них числами и сложили полученные результаты (то есть сложили 30 чисел). Какую сумму они могли получить?

11 класс

1. Числа $x^3 + \frac{1}{x^2}$ и $x^2+\frac{1}{x^3}$ – рациональные. Докажите, что x – рациональное число.
2. Известно, что некоторых углов x и y выполняются неравенства $\sin x > \cos y > 0$ и $\cos x > \sin y$. Докажите, что $\sin y < 0$.
3. На столе белой стороной кверху лежали 100 карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая черная. Коля перевернул 50 карточек, затем Таня перевернула 60 карточек, а после этого Петя – 70 карточек. В результате все 100 карточек оказались лежащими черной стороной вверх. Сколько карточек было перевернуто трижды?
4. Прямая пересекает график функции $y = x^2$ в точках с абсциссами x₁ и x₂, а ось абсцисс – в точке с абсциссой x₃. Докажите, что $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_3}$.
5. Две окружности K₁ и K₂ с центрами O₁ и O₂ соответственно, пересекаются в точках A и B . Прямая, проходящая через точку A, пересекает окружности K₁ и K₂ в точках C₁ и C₂ соответственно. Прямые C₁O₁ и C₂O₂ пересекаются в точке D. Докажите, что точки C₁,B,C₂,D лежат на одной окружности.