Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ. Часть 2

Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ

Задачи 51-100

геометрия

задачи 1-50,  задачи  101-150

  1. В треугольник АВС вписана окружность, радиус которой равен 4. Определите стороны АВ и АС, если ВС = 15, а высота BD = 12. ответ: 13; 14
  2. В треугольнике ABC, стороны AB и BC которого равны, проведены высоты BD и AE. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABD и AEC, равны соответственно 10 и 12. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. ответ:  15
  3. Площадь прямоугольного треугольника равна 5, а периметр равен 2. Найдите длину перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу. ответ: 5/3
  4. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 3, а площадь треугольника равна 84. Найдите катеты треугольника. ответ: 7; 24
  5. Радиус вписанной в треугольник окружности равен 2, а одна из точек касания делит сторону треугольника на отрезки 3 и 4. Найдите площадь треугольника. ответ: 21
  6. Площадь треугольника равна 84, одна из его сторона равна 13, а радиус вписанной окружности равен 4. Найдите две другие стороны треугольника. ответ: 14; 15
  7. Периметр прямоугольного треугольника равен 90, а радиус вписанной окружности равен 4. Найдите катеты треугольника. ответ: 9; 40
  8. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найдите длины оснований. ответ: 1; 7
  9. В равнобедренной трапеции основания равны 21 и 9, и высота равна 8. Найдите радиус описанной окружности. ответ:  85/8
  10. Дана равнобедренная трапеция, средняя линия которой равна 9, площадь равна 54 и диагонали перпендикулярны боковым сторонам. Найдите основания трапеции. ответ: 5; 13
  11. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна \(a\), а диагональ, равная \(b\), делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите основания трапеции. ответ: \(\sqrt{5(b^2-a^2)/3}; \sqrt{3(b^2-a^2)/5}\)
  12. Найдите диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании. ответ: \(\sqrt{80}; \sqrt{320}\)
  13. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если ее большее основание равно \(a\), а угол при большем основании равен 60о. ответ: \(a/23\)
  14. В трапеции ABCD отрезки AB и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найдите площадь треугольника BCE, если АВ = 30, DC = 24 и AD = 3, а угол при большем основании DAB равен 60о. ответ:  \(10\sqrt{3}\)
  15. Большее основание трапеции равно 24. Найдите меньшее основание, если расстояние между серединами диагоналей равно 4. ответ: 16
  16. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны, и большая из них точкой пересечения делится на отрезки, равные 36 и 64. Найдите основания трапеции. ответ: 45; 80
  17. В трапеции, основания которой равны \(a\) и \(b\), проведена через точку пересечения диагоналей прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка прямой, отсекаемого от нее боковыми сторонами трапеции. ответ: \(2ab/(a+b)\)
  18. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции с ее основаниями, равны \(S_1\) и \(S_2\). Найдите площадь трапеции. ответ: \((\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2\)
  19. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали равна \(a\), а длина боковой стороны BC равна \(b\). Найдите площадь трапеции. ответ: \(3ab/4\)
  20. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки \(m\) и \(n\). Определите площадь трапеции. ответ: \(2\sqrt{mn}(m+n)\)
  21. В окружность вписана трапеция, боковая сторона которой равна 15, средняя линия равна 16 и большее основание является диаметром окружности. Найдите площадь трапеции. ответ: 192
  22. Вычислите площадь трапеции по разности оснований, равной 14, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15, если в трапецию можно вписать окружность. ответ: 168
  23. Найдите длину отрезка прямой, параллельной основаниям трапеции и делящей трапецию на две равновеликие фигуры, заключенного между боковыми сторонами трапеции. Основания трапеции равны \(a\) и \(b\). ответ: \(\sqrt{(a^2+b^2)/2}\)
  24. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса \(R\). Верхнее основание трапеции в два раза меньше ее высоты. Найдите площадь трапеции. ответ: \(5R^2\)
  25. Около окружности, радиус которой равен 10, описана равнобедренная трапеция. Расстояние между точками касания окружности с боковыми сторонами трапеции равно 12. Найдите боковую сторону трапеции. ответ: 100/3
  26. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь в отношении 3 : 5. Найдите основания трапеции. ответ: 5; 15
  27. Около окружности описана трапеция, боковые стороны которой равны 13 и 15, а площадь равна 168. Найдите основания трапеции. ответ: 7; 21
  28. В трапеции основания равны 5 и 15, а длины диагоналей равны 12 и 16. Найдите площадь трапеции. ответ: 96
  29. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 10 и 26, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам. ответ: 216
  30. Средняя линия равнобедренной трапеции равна 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия делит трапецию на две части, отношение площадей которых равно 7 : 13. Найдите высоту трапеции. ответ: 4
  31. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна \(S\). Найдите среднюю линию трапеции, если острый угол при ее основании равен \(\alpha\). ответ: \(\sqrt{S/\sin\alpha}\)
  32. В треугольник, стороны которого равны 39, 60 и 63, вписана окружность, и к окружности проведена касательная, параллельная большей боковой стороне треугольника. Найдите площадь полученной трапеции. ответ: 1078
  33. В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) вписана окружность. Прямая, параллельная стороне АВ и касающаяся окружности, пересекает сторону АС в точке М, причем 5MC = 2AC. Найдите радиус окружности, если периметр треугольника АВС равен 20. ответ: \(4/\sqrt{5}\)
  34. Около круга радиуса 2 описана равнобедренная трапеция с острым углом 30о. Найдите среднюю линию трапеции. ответ: 8
  35. Внутри треугольника ABC с прямым углом B взята точка D так, что площади треугольников ABD и BDC соответственно в три и четыре раза меньше площади треугольника ABC. Отрезки AD и DC равны соответственно \(a\) и \(c\). Найдите BD. ответ: \(\sqrt{(3a^2+8c^2)/35}\)
  36. В треугольник вписана окружность радиуса 3. Вычислите стороны треугольника, если одна из них разделена точкой касания на отрезки с длинами 3 и 4. ответ: 7; 24; 25
  37. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна 12. Расстояние от центра описанной около треугольника окружности до этого катета равно 2,5. Найдите длину гипотенузы. ответ: 13
  38. Вокруг окружности описана трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найдите площадь трапеции. ответ: 20
  39. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь в отношении 3 : 5. Найдите основания трапеции. ответ: 15; 5
  40. В равнобедренную трапецию, основания которой равны 2 и 8, вписан круг. Найдите радиус этого круга. ответ: 2
  41. В равнобедренной трапеции средняя линия равна 5, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции. ответ: 25
  42. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6. Найдите радиусы кругов. ответ: 15/2
  43. Две равные окружности радиуса \(r\) пересекаются. В общую часть обоих кругов вписан квадрат. Найдите сторону этого квадрата, если расстояние между центрами окружностей равно \(r\). ответ: \(r(\sqrt{7}-1)/2\)
  44. В окружности перпендикулярно диаметру АВ проведена хорда CD. Точка их пересечения делит диаметр на отрезки 18 и 32. Найдите CD. ответ: 48
  45. Две окружности радиусов \(r\) и \(R\) касаются внешним образом. Найдите расстояние от точки касания до их общей внешней касательной. ответ: \(2Rr/(R+r)\)
  46. Внутри круга, радиус которого равен 13, дана точка М, отстоящая от центра круга на 5. Через точку М проведена хорда АВ, равная 25. Найдите произведение длин отрезков, на которые хорда АВ делится точкой М. ответ: 144
  47. В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе проведена высота СD. Угол В равен 60о, отрезок BD равен 1. Найдите гипотенузу. ответ:7
  48. В равнобедренной трапеции диагональ длины \(a\) образует угол \(\alpha\) с основанием. Найдите площадь трапеции. ответ: \(a^2\sin\alpha\cos\alpha\)
  49. На сторонах AB, BC и AD параллелограмма ABCD взяты точки K, M и T таким образом, что AK : KB = 2 : 1, BM : MC = 1 : 1 и AT : TD = 1 : 3. Найдите отношение площадей треугольников KBT и BMT. ответ: 1 : 6
  50. На гипотенузе KM прямоугольного треугольника KTM расположен центр О окружности, которая касается катетов TK и TM в точках A и B соответственно. Найдите AK, если BM = 23/16, AK : AC = 5 : 23, где точка С – точка пересечения окружности с KM, лежащая между точками О и M. ответ: 6/23


Смотрите:

  1. Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ. Часть 1
  2. Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ. Часть 3
  3. Школьная математика. Задачи по геометрии
  4. Сборник задач ЕГЭ по математике. Задачи B11