Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ. Часть 3

Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ

геометрия

Задачи 101-150 

задачи 1-50,  задачи  51-100

  1. Через некоторую точку, взятую на стороне треугольника, проведены две прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разделяют треугольник на два треугольника и параллелограмм. Найдите площадь данного треугольника, если площади образовавшихся треугольников равны \(S_1\) и \(S_2\). ответ: \(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2\)
  2. Высота прямоугольного треугольника делит его на треугольники с периметрами \(p_1\) и \(p_2\). Найдите периметр исходного треугольника. ответ: \(\sqrt{p_1^2+p_2^2}\)
  3. Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке А. Общая касательная к обеим окружностям, проведенная через точку А, пересекается с другой их общей касательной в точке В. Найдите радиус второй окружности, если длина отрезка АВ равна 4. ответ: 8
  4. В трапеции ABCD основание AD равно 16, сумма диагоналей AC и BD равна 36, а угол CAD равен 60о. Отношение площадей треугольников AOD и BOC, где точка О – точка пересечения диагоналей, равно 4. Найдите площадь трапеции. ответ: \(90\sqrt{3}\)
  5. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник. ответ: 2
  6. В треугольник, в котором две стороны равны \(a\) и \(b\), вписан ромб, имеющий с треугольником общий угол С. Найдите сторону ромба. ответ: \(ab/(a+b)\)
  7. Около круга описана равнобедренная трапеция, периметр которой равен 80, а острый угол равен 30о. Найдите площадь трапеции. ответ: 200
  8. В треугольник с периметром, равным \(2p\), вписана окружность. К ней проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найдите наибольшую возможную длину отрезка касательной, концы которого принадлежат сторонам треугольника. ответ: \(p/4\)
  9. В равнобедренном треугольнике АВС высота BD, опущенная на основание, равна \(h\), радиус вписанной окружности равен \(r\). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. ответ: \((h-r)^2/(2(h-2r))\)
  10. Периметр равнобедренного треугольника равен 32, основание относится к боковой стороне как 6 : 5. Найдите площадь треугольника. ответ: 48
  11. Через точку, которая делит гипотенузу в отношении 1 : 2, проведен перпендикуляр, который делит катет длиной 6 на два отрезка. Определите длину большего из этих отрезков, если длина гипотенузы равна 9. ответ: 9/2
  12. Площадь равнобедренной трапеции равна 32. Котангенс угла между диагональю трапеции и ее основанием равен 2. Найдите высоту трапеции. ответ: 4
  13. Медианы АТ и ВМ треугольника АВС равны 6 и 9 соответственно и пересекаются в точке К, причем угол АКВ равен 30о. Найдите площадь треугольника АВС. ответ: 18
  14. Окружности радиусов 8 и 3 касаются внутренним образом. Из центра большей окружности проведена касательная к меньшей окружности. Найдите длину касательной. ответ: 4
  15. В круге дана точка на расстоянии 15 от центра. Через эту точку проведена хорда, которая делится ею на отрезки 7 и 25. Найдите радиус круга. ответ: 20
  16. Площадь прямоугольного треугольника равна \(S\), а площадь круга, вписанного в него, равна \(Q\). Найдите площадь круга, описанного около этого треугольника. ответ: \((\pi S-Q)^2/(4Q)\)
  17. Через некоторую точку внутри треугольника площадью \(S\) проведены прямые, параллельные двум его сторонам. Площади треугольников, отсекаемых этими сторонами, равны \(S_1\) и \(S_2\). Найдите площадь треугольника, ограниченного этими прямыми и третьей стороной треугольника. ответ: \((\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}-\sqrt{S})^2\)
  18. Около круга, радиус которого равен 4, описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 36. Найдите периметр треугольника. ответ: 80
  19. Площадь прямоугольного треугольника равна 54, а катеты относятся как 3 : 4. Определите площадь круга, описанного около треугольника. ответ: \(56,25\pi\)
  20. Меньшее основание DC трапеции равно \(b\), большее основание AB равно \(a\). На продолжении меньшего основания найдите точку М такую, что прямая М разделяет трапецию на две равновеликие части. ответ: \(a(a-b)/(a+b)\)
  21. В равнобедренной трапеции отношение оснований равно 0,75, средняя линия  равна высоте и равна 7. Вычислите радиус окружности, описанной около трапеции. ответ: 10
  22. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, соответственно параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разделяют треугольник на шесть частей, из которых три – треугольники с площадями \(S_1\), \(S_2\) и \(S_3\). Найдите площадь исходного треугольника. ответ: \((\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3})^2\)
  23. В окружности радиуса \(r\) проведены диаметр AB и хорда MP, которые не пересекаются. Прямые АМ и ВР пересекаются в точке С, лежащей вне круга, и AC равно \(a\), BC равно \(b\). Найдите MP. ответ: \((a^2+b^2-qr^2)/(ab)\)
  24. Гипотенуза прямоугольного треугольника на 4 больше одного и на 2 больше другого катета. Определите площадь круга, описанного около этого треугольника. ответ: \(25\pi\)
  25. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Через середину меньшего катета и середину гипотенузы проведена окружность, касающаяся гипотенузы. Найдите длину этой окружности. ответ: \(10\pi/3\)
  26. В равнобедренную трапецию с тупым углом \(\alpha\) вписана окружность радиуса \(r\). Найдите длину окружности, описанной около этой трапеции. ответ: \((2\pi r\sqrt{1+\sin^2\alpha})/\sin^2\alpha\)
  27. На плоскости даны две окружности радиусов 12 и 7 с центрами в точках \(O_1\) и \(O_2\), касающиеся некоторой прямой в точках \(M_1\) и \(M_2\) и лежащие по одну сторону от этой прямой. Известно, что \(O_1O_2 : M_1M_2 = \sqrt{5}/2\). Найдите \(M_1M_2\). ответ: 10
  28. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC длина боковой стороны AB равна 2. Биссектриса угла BAD пересекает прямую BC в точке E. В треугольник ABE вписана окружность, касающаяся стороны в точке M и стороны BE в точке H. Длина отрезка MH равна 1. Найдите угол BAD. ответ: \(2\pi/3\)
  29. Прямая, параллельная основанию треугольника с площадью \(S\), отсекает от него треугольник площадью \(S_1\). Определите площадь четырехугольника, три вершины которого совпадают с вершинами меньшего треугольника, а четвертая лежит на основании большего треугольника. ответ: \(\sqrt{SS_1}\)
  30. В трапеции ABCD отрезки AB и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найдите площадь треугольника BCE, если BA равно 30, DC равно 24, AD равно 3 и угол DAB равен \(\pi/3\) ответ: \(10\sqrt{3}\)
  31. Из точки А к окружности радиуса \(R\) проведена касательная АМ, где точка М – точка касания. Секущая, проходящая через точку А, пересекает окружность в точках К и Т, причем Т – середина отрезка АК. Найдите площадь треугольника АМК, если угол АМК равен 60о. ответ: \(3\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)R^2/8\)
  32. В окружности радиуса 16 на расстоянии 2 от центра проведена хорда. В меньший из образовавшихся сегментов помещены две окружности одинакового радиуса так, что они касаются одна другой и каждая из них касается исходной окружности и проведенной хорды. Найдите радиус этих двух окружностей. ответ: 6
  33. Прямоугольный сектор с радиусом 8 разделен на две части дугой круга того же радиуса с центром в одном конце дуги сектора. Определите радиус круга, вписанного в большую из этих частей. ответ: 3
  34. Две окружности радиусами 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и D так, что CD равно 8 и В лежит между C и D. Найдите площадь треугольника ACD. ответ: 384/25
  35. Докажите, что вписанная в прямоугольный треугольник окружность точкой касания делит на отрезки, произведение длин которых равно площади данного треугольника.
  36. В ромб вписана окружность радиуса \(r\). Три точки касания окружности со сторонами ромба соединены между собой. Найдите площадь получившегося треугольника, если большая диагональ ромба в 4 раза больше радиуса вписанной окружности. ответ: \(r^2\sqrt{3}/2\)
  37. Две окружности касаются внешним образом. К первой из них проведена касательная, проходящая через центр второй окружности. При этом расстояние от точки касания до центра второй окружности равно диаметру второй окружности. Найдите отношение площадей получившихся кругов. ответ: 9/4
  38. Диагональ прямоугольной трапеции равна ее боковой стороне. Найдите длину средней линии трапеции, если ее высота равна 4, а боковая сторона равна 5. ответ: 9/2
  39. Дана прямоугольная трапеция с основаниями, равными 3 и 2, и меньшей боковой стороной, равной 1. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее основания. ответ: 5/3
  40. На сторонах AB, AC и BC треугольника ABC даны точки M, T и K такие, что четырехугольник KTMB – параллелограмм. Найдите площадь этого параллелограмма, если известно, что площади треугольников AMT и KTC соответственно равны \(S_1\) и \(S_2\). ответ: \(2\sqrt{S_1S_2}\)
  41. Окружность, построенная на стороне АС треугольника АВС как на диаметре, проходит через середину стороны ВС и пересекает сторону АВ в точке D так, что AD = AB / 3. Найдите площадь треугольника АВС, если АС равно 1. ответ: \(\sqrt{2}/3\)
  42. В треугольнике АВС угол В прямой. Точки D и E на катете СВ расположены так, что отрезки AD и AE делят угол А на три равные части. Найдите отношение площадей треугольников ADB и AEB, если AD равно \(a\) и AE равно \(b\). ответ: \((b+\sqrt{b^2+8a^2})/(2b)\)
  43. Прямоугольный треугольник, периметр которого равен 10, разбит высотой, опущенной на гипотенузу, на два треугольника. Периметр одного из них равен 6. Найдите периметр другого треугольника. ответ: 8
  44. В равнобедренном треугольнике АВС высота BD, опущенная на основание, равна \(h\), радиус вписанной окружности равен \(r\). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. ответ: \((h-r)^2/(2(h-2r))\)
  45. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка M, а на стороне BC – точка N. Отрезки BM и AN пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника CMN, если площади треугольников AOM, AOB и BON равны соответственно \(S_1, S_2\) и \(S_3\) ответ: \(S_1S_3(S_2+S_1)(S_2+S_3)/(S_2(S_2^2-S_1S_3)\)
  46. В треугольник АВС вписана окружность радиуса \(R\). Точка D лежит на дуге ВС, хорды AD и BC пересекаются в точке М. Найдите длину стороны BC, если угол BMD равен 120о, AB равно \(R\) и BM : MC = 2 : 3. ответ: \(5R/\sqrt{7}\)
  47. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС длины 2 проведены медианы AM и CN. Около четырехугольника ANMC можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности. ответ: \(\sqrt{5}/2\)
  48. Окружность с центром в точке пересечения диагоналей АС и BD равнобедренной трапеции ABCD касается меньшего основания BC и боковой стороны AB. Найдите площадь трапеции ABCD, если ее высота равна 16, а радиус окружности равен 3. ответ: 512/3
  49. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбраны точки K и T так, что AK = KT = TB. Найдите угол ABC, если CK = \(\sqrt{2}\) CT. ответ: arccos \((\sqrt{2}/3)\)
  50. Найдите радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен \(R\), а площадь треугольника равна \(S\). ответ: \(S/(R+\sqrt{R^2+S})\)


Смотрите:

  1. Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ. Часть 1
  2. Планиметрия. 150 задач для подготовки к ЕГЭ. Часть 2
  3. Досрочный ЕГЭ по математике 2014. Условия задач с ответами и решениями
  4. Сборник задач ЕГЭ по математике. Задачи B1