Решение демонстрационного варианта
ЕГЭ 2019 по математике
Профильный уровень
Условия задач и ответы здесь
13. а) -.
б) -
14. а) Пусть H - середина AC.
Тогда . Вместе с тем,
, а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN - прямоугольный с прямым углом BMN.
б) Проведем перпендикуляр NP к прямой . Так как NP перпендикулярно
и
, то NP перпендикулярно
. Поэтому MP - проекция MN на плоскость
. Прямая BM перпендикулярна MN, тогда по теореме о трех перпендикулярах BM перпендикулярно MP. Значит, угол NMP - линейный угол искомого угла.
Длина NP равна половине высоты треугольника , то есть
. Поэтому
. Следовательно, угол NMP равен arcsin
.
15. -.
16. а) Обозначим центры окружностей и
соответственно. Пусть общая касательная, проведенная к окружности в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведенных из одной точки, AM = KM и KM = BM.
Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный. Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD перпендикулярно AB. Аналогично получаем, что BC перпендикулярно AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
б) Пусть для определенности первая окружность имеет радиус 4, вторая - радиус 1. Треугольники BKC и AKD подобны, AD:BC = 4:1. Пусть , тогда
.
У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно, , то есть
. Аналогично,
.
Площадь трапеции ABCD равна 25S. Проведем к AD перпендикуляр , равный высоте трапеции, и найдем его длину из прямоугольного треугольника
по теореме Пифагора
. Тогда
. Значит,
и
,
.
17. По условию, долг перед банком (в млн рублей) на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться до нуля следующим образом:
1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.
Пусть , тогда долг на 1-е число каждого месяца равен:
k ; 0,6k ; 0,4k ; 0,3k ; 0,2k ; 0,1k .
Следовательно, выплаты со 2-го по 14-е число каждого месяца составляют:
k − 0,6; 0,6k − 0,4 ; 0,4k − 0,3 ; 0,3k − 0,2 ; 0,2k − 0,1; 0,1k .
Общая сумма выплат составляет:
k(1+0,6+0,4+0,3+0,2+0,1)-(0,6+0,4+0,3+0,2+0,1)=2,6(k-1)+1.
По условию, общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей, значит,
;
;
.
Наибольшее целое решение этого неравенства — число 7. Значит, искомое число процентов равно 7.
18. www.itmathrepetitor.ru Если , то уравнение
задает окружность
с центром в точке
радиусом 3, а если
, то оно задает окружность
с центром в точке
с таким же радиусом.
При положительных значениях
уравнение
задает окружность
с центром в точке
радиусом
. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения (a), при каждом из которых окружность
имеет единственную общую точку с объединением окружностей
и
.
Из точки проведем луч
и обозначим через
и
точки его пересечения с окружностью
, где
лежит между
и
. Так как
, то
,
.
При или
окружности
и
не пересекаются.
При окружности
и
имеют две общие точки.
При или
окружности
и
касаются.
Из точки проведем луч
и обозначим через
и
точки его пересечения с окружностью
, где
лежит между
и
. Так как
, то
,
.
www.itmathrepetitor.ru При или
окружности
и
не пересекаются.
При окружности
и
имеют две общие точки.
При или
окружности
и
касаются.
Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей
и
и не пересекается с другой. Так как
, то условию задачи удовлетворяют только числа
и
.
19. а) Пусть в школе № 1 писали тест 2 учащихся, один из них набрал
1 балл, а второй набрал 19 баллов и перешёл в школу № 2. Тогда средний балл
в школе № 1 уменьшился в 10 раз.
б) Пусть в школе № 2 писали тест m учащихся, средний балл равнялся B,
а перешедший в неё учащийся набрал u баллов. Тогда получаем:
u = 0,9(m+1)B-mB; 10u=(9-m)B.
Если B = 7, то (9 − m)B не делится на 10, а 10u делится на 10. Но это
невозможно, поскольку 10u = (9-m)B .
в) Пусть в школе № 1 средний балл равнялся A. Тогда получаем:
u = (9-m)A - 0,9(8-m)A; 10u = (18-m)A=(9-m)B.
Заметим, что если B = 1 или B = 3, то 10u = (9-m)B не делится на 10. Если
B = 2 или B = 4 , то m = 4. В первом случае 14A = 10, а во втором 14A = 20.
Значит, ни один из этих случаев не возможен.
При B = 5 и m = 3 получаем u =3 и A = 2 . Этот случай реализуется, например,
если в школе № 1 писали тест 6 учащихся, 3 из них набрали
по 1 баллу, а 3 — по 3 балла, в школе № 2 писали тест 3 учащихся и каждый
набрал по 5 баллов, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося –
3 балла.
смотрите также Демо ЕГЭ 2017 Базовый уровень