Сканави М.И.
Задачи по планиметрии с ответами и решениями

перейти к содержанию

Группа А. Задачи 1 - 50 (с ответами и решениями)

1. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найти катеты треугольника. Ответ: 42 см, 56 см Решение

2. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна m и делит прямой угол в отношении 1:2. Найти стороны треугольника. Ответ:$m,m\sqrt{3},2m$   Решение

3. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 1 см. Найти длину гипотенузы. Ответ: 5 см Решение

4. Определить острые углы прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к его гипотенузе, делит прямой угол в отношении 1:2. Ответ:  60^о и 30^о Решение

5. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найти расстояние между точкой пересечения его биссектрис и точкой пересечения медиан. Ответ: 1 см Решение

6. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18 см. Ответ: $9\sqrt{5}, 8\sqrt{10}$ Решение

7. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника. Ответ: 54 Решение

8. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 м проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить площади образовавшихся треугольников. Ответ: 8,64 и 15,36 Решение

9. Площадь прямоугольного треугольника равна $2\sqrt{3}$ см². Определить его высоту, проведенную к гипотенузе, если она делит прямой  угол в отношении 1:2. Ответ: $\sqrt{3}$ Решение

10. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4 см, проведена медиана боковой стороны. Найти основание треугольника, если медиана равна 3 см. Ответ:  $\sqrt{10}$ Решение

11. Основание равнобедренного треугольника равно $4\sqrt{2}$ см, а медиана боковой стороны 5 см. Найти длины боковых сторон. Ответ:  6 Решение

12. Найти длины сторон равнобедренного треугольника ABC с основанием АС, если известно, что длины его высот AN и ВМ равны соответственно n и m. Ответ: $2mn/\sqrt{4m^2-n^2}, 2m^2/\sqrt{4m^2-n^2}$  Решение

13. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найти биссектрису угла при основании треугольника. Ответ: 6  Решение

14. Вычислить площадь равнобедренного треугольника, если длина высоты, проведенной к боковой стороне, равна 12 см, а длина основания равна 15 см. Ответ: 75 Решение

15. Найти площадь равнобедренного треугольника, если основание его равно а, а длина высоты, проведенной к основанию, равна длине отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны. Ответ: $a^2\sqrt{3}/12$ Решение

16. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна Н и вдвое больше своей проекции на боковую сторону. Найти площадь треугольника. Ответ:  $H^2\sqrt{3}$ Решение

17. Найти длины сторон АВ и АС треугольника ABC, если ВС = 8 см, а длины высот, проведенных к АС и ВС, равны соответственно 6,4 и 4 см. Ответ: $\sqrt{41}, 5$  Решение

18. В треугольнике длины двух сторон составляют 6 и 3 см. Найти длину третьей стороны, если полусумма высот, проведенных к данным сторонам, равна третьей высоте. Ответ: 4 Решение

19. Длина основания треугольника равна 36 см. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между сторонами треугольника. Ответ: $18\sqrt{2}$ Решение

20. На каждой медиане треугольника взята точка, делящая медиану в отношении 3:1, считая от вершины. Во сколько раз площадь треугольника с вершинами в этих трех точках меньше площади исходного треугольника? Ответ: 64  Решение

21. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на части, площади которых относятся как 2:1. В каком отношении, считая от вершины, она делит боковые стороны? Ответ:   $\sqrt{6}+2$ или $(\sqrt{3}+1):2$ Решение

22. Основание треугольника равно 30 см, а боковые стороны 26 и 28 см. Высота разделена в отношении 2:3 (считая от вершины), и через точку деления проведена прямая, параллельная основанию. Определить площадь полученной при этом трапеции. Ответ: 282,24 Решение

23. Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Расстояние от точки А до точки касания равно 16 см, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32 см. Найти радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5 см. Ответ: 13 Решение

24. Из внешней точки проведены к окружности секущая длиной 12 см и касательная, длина которой составляет 2/3 внутреннего отрезка секущей. Определить длину касательной. Ответ: 6 Решение

25. Хорда окружности равна 10 см. Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной. Определить радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 12 см. Ответ: 6,25  Решение

26. Две окружности радиусов R = 3 см и r = 1 см касаются внешним образом. Найти расстояния от точки касания окружностей до их общих касательных. Ответ: 0; 1,5 Решение
27. Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длина каждой касательной 12 см, а расстояние между точками касания 14,4 см. Определить радиус окружности. Ответ: 9 Решение
28. В острый угол, равный 60°, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен r. Найти радиус большей окружности. Ответ: 3r Решение
29. Через концы дуги окружности, содержащей 120°, проведены касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Доказать, что ее длина равна длине исходной дуги.  Решение
30. В окружности проведены две хорды АВ=а и АС=b. Длина дуги АС вдвое больше длины дуги АВ. Найти радиус окружности. Ответ: $a^2/\sqrt{4a^2-b^2}$ Решение
31. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами 90^o и 60^o. Найти радиусы окружностей, если расстояние между их центрами равно $\sqrt{3}+1$. Ответ:  2; $\sqrt{2}$ Решение
32. В сектор АОВ с радиусом R и углом 90° вписана окружность, касающаяся отрезков ОА, ОB и дуги АВ. Найти радиус окружности. Ответ: $R(\sqrt{2}-1)$  Решение
33. Дана точка Р, удаленная на 7 см от центра окружности радиуса 11 см. Через эту точку проведена хорда длиной 18 см. Каковы длины отрезков, на которые делится хорда точкой Р? Ответ: 12; 6  Решение
34. В окружности радиуса г проведена хорда, равная r/2. Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной. Найти расстояние между касательной и секущей. Ответ: r/8 Решение
35. В большем из двух концентрических кругов проведена хорда, равная 32 см и касающаяся меньшего круга. Определить длину радиуса каждого из кругов, если ширина образовавшегося кольца равна 8 см. Ответ: 12; 20 Решение
36. Круг радиуса R разделен двумя концентрическими с ним окружностями на три равновеликие фигуры. Найти радиусы этих окружностей. Ответ:  $R/\sqrt{3}; R\sqrt{2/3}$ Решение
37. Площадь кругового кольца равна S. Радиус большей окружности равен длине меньшей окружности. Определить радиус последней. Ответ:  $\sqrt{S/(\pi (4\pi^2-1))}$ Решение
38. Определить площадь кругового кольца, заключенного между двумя концентрическими окружностями, длины которых равны С₁ и С₂ (С₁>С₂). Ответ: $(C_1^2-C_2^2)/(4\pi)$ Решение
39. Хорда АВ постоянной длины скользит своими концами по окружности радиуса R. Точка О этой хорды, находящаяся на расстояниях а и b от концов А и В хорды, описывает при полном обороте окружность. Вычислить площадь кольца, заключенного между данной окружностью и окружностью, описанной точкой С. Ответ: $\pi ab$ Решение
40. Внутри круга радиуса 15 см взята точка М на расстоянии 13 см от центра. Через точку М проведена хорда длиной 18 см. Найти длины отрезков, на которые точка М делит хорду. Ответ: 4 Решение
41. В круговой сектор с центральным углом в 120° вписан круг. Найти радиус описанного круга, если радиус данного круга равен R. Ответ: $R\sqrt{3}(2-\sqrt{3})$ Решение
42. В круговой сектор, дуга которого содержит 60°, вписан круг. Найти отношение площади этого круга к площади сектора. Ответ: 2:3 Решение
43. Круг радиуса R обложен четырьмя равными кругами, касающимися данного так, что каждые два соседних из этих четырех кругов касаются друг друга. Вычислить площадь одного из этих кругов. Ответ: $\pi R^2(3+2\sqrt{2})$ Решение
44. Три окружности разных радиусов попарно касаются друг друга. Прямые, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник. Найти радиус меньшей окружности, если радиусы большей и средней окружностей равны 6 и 4 см. Ответ: 2 Решение
45. Три равные окружности радиуса r попарно касаются одна другой. Вычислить площадь фигуры, расположенной вне окружностей и ограниченной их дугами, заключенными между точками касания. Ответ:  $r^2(2\sqrt{3}-\pi)/2$ Решение
46. Общей хордой двух кругов стягиваются дуги в 60 и 120°. Найти отношение площадей этих кругов. Ответ: 3:1  Решение
47. Доказать, что если диаметр полукруга разделить на две произвольные части и на каждой из них построить как на диаметре полуокружность (внутри данного полукруга), то площадь, заключенная между тремя полуокружностями, равна площади круга, диаметр которого равен длине перпендикуляра к диаметру полукруга, проведенного в точке деления до пересечения с окружностью. Решение
48. Определить площадь круга, вписанного в сектор круга радиуса R с хордой a. Ответ: $\pi (Ra/(R+a))^2$  Решение
49. Сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность, равна а. Вычислить площадь отсекаемого ею сегмента. Ответ: $a^2(4\pi-3\sqrt{3})/36$ Решение
50. Сторона квадрата, вписанного в окружность, равна а. Вычислить площадь отсекаемого ею сегмента. Ответ: $a^2(\pi-2)/8$ Решение