Сканави М.И.
Задачи по планиметрии с ответами и решениями
Группа А. Задачи 51 – 100 (с ответами и решениями)
-
Круг разделен на два сегмента хордой, равной стороне правильного вписанного треугольника. Определить отношение площадей этих сегментов. Ответ: \((4\pi-3\sqrt{3})/(8\pi+3\sqrt{3})\) Решение
-
Круг, радиус которого равен R, разделен на два сегмента хордой, равной стороне вписанного квадрата. Определить площадь меньшего из этих сегментов. Ответ: \(R^2(\pi-2)/4\) Решение
-
В круге радиуса R по разные стороны от центра проведены две параллельные хорды, одна из которых равна стороне правильного вписанного треугольника, а другая — стороне правильного вписанного шестиугольника. Определить площадь части круга, содержащейся между хордами. Ответ: \((\pi+\sqrt{3})R^2/2\) Решение
-
Три окружности радиусов R1= 6 см, R2 = 7 см, R3 = 8 см попарно касаются друг друга. Определить площадь треугольника, вершины которого совпадают с центрами этих окружностей. Ответ: 84 Решение
- Каждая из трех равных окружностей радиуса r касается двух других. Найти площадь треугольника, образованного общими внешними касательными к этим окружностям. Ответ: \(2r^2(2\sqrt{3}+3)\) Решение
-
В круг радиуса R вписаны два правильных треугольника так, что при их взаимном пересечении каждая из сторон разделилась на три равных отрезка. Найти площадь пересечения этих треугольников. Ответ: \(R^2\sqrt{3}/2\) Решение
-
Общая хорда двух окружностей служит для одной из них стороной вписанного квадрата, а для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найти расстояние между центрами окружностей, если радиус меньшей из них равен r (рассмотреть два возможных случая расположения окружностей). Ответ: \(r(\sqrt{6}+\sqrt{2})/2, r(\sqrt{6}-\sqrt{2})/2\) Решение
-
Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и служит для одной окружности стороной правильного вписанного треугольника, а для другой — стороной вписанного квадрата. Определить расстояние между центрами окружностей (рассмотреть два возможных случая). Ответ: \(a(3+\sqrt{3})/6, a(3-\sqrt{3})/6\) Решение
-
Одна из двух параллельных прямых касается окружности радиуса R в точке А, а другая пересекает эту окружность в точках В и С. Выразить площадь треугольника ABC как функцию расстояния х между прямыми. Ответ: \(x\sqrt{2Rx-x^2}\) Решение
-
В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найти катеты треугольника. Ответ: 8; 15 Решение
-
Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 3 и 5 см. Найти катеты треугольника. Ответ: 6; 8 Решение
-
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 15 см, а радиус вписанной в него окружности равен 6 см. Найти стороны треугольника. Ответ: 18, 24, 30 Решение
-
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 3 см. Найти площадь треугольника. Ответ: 60 Решение
-
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5:2. Найти площадь треугольника, если один из его катетов равен а. Ответ: \(2a^2/3; 3a^2/8\) Решение
-
В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так, что диаметр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки длиной 15 и 20 см. Найти площадь треугольника и длину вписанной полуокружности. Ответ: 294; \(12\pi\) Решение
-
На большем катете треугольника как на диаметре построена полуокружность. Найти ее длину, если длина меньшего катета 30 см, а хорда, соединяющая вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы и полуокружности, равна 24 см. Ответ: \(20\pi\) Решение
-
Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет центр на гипотенузе треугольника. Каков радиус окружности, если длины катетов равны 5 и 12? Ответ: 65/18 Решение
-
Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см, а один из катетов равен 10 см. Ответ: 7,25 Решение
-
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник. Ответ: 5 Решение
-
Периметр прямоугольного треугольника равен 2р, а гипотенуза равна с. Определить площадь круга, вписанного в треугольник. Ответ: \(\pi(p-c)^2\) Решение
-
Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если проекции катетов на гипотенузу равны 9 и 16 м. Ответ: \(25\pi\) Решение
-
Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если высота, проведенная к гипотенузе, делит последнюю на отрезки длиной 25,6 и 14,4 см. Ответ: \(64\pi\) Решение
- Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, площадь его равна 24 см2. Найти площадь описанного круга. Ответ: \(25\pi\) Решение
-
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найти расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до центра описанной около него окружности. Ответ: \(\sqrt{5}\) Решение
-
Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и проходит через вершину противоположного острого угла. Найти радиус окружности, если ее центр лежит на гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен а. Ответ: \(a(2-\sqrt{2})\) Решение
-
Найти отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, к высоте, проведенной к гипотенузе. Ответ: \(\sqrt{2}-1\) Решение
-
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, основание 12 см. К окружности, вписанной в треугольник, проведены касательные, параллельные высоте треугольника и отсекающие от данного треугольника два прямоугольных треугольника. Найти длины сторон этих треугольников. Ответ: 3, 4, 5 Решение
-
Длина высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, равна 25 см, а радиус вписаннной окружности равен 8 см. Найти длину основания треугольника. Ответ: 80/3 Решение
-
В равнобедренный треугольник с углом 120° при вершине и боковой стороной а вписана окружность. Найти радиус этой окружности. Ответ: \(a\sqrt{3}(2-\sqrt{3})/2\) Решение
-
В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а боковая сторона равна 39 см. Определить радиус вписанного круга. Ответ: 10 Решение
-
Найти площадь равнобедренного треугольника с углом 120°, если радиус вписанного круга равен \(\sqrt[4]{12}\) см. Ответ: \(2(7+4\sqrt{3})\) Решение
-
В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а боковая сторона равна 10 см. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами. Ответ: 8/3, 25/3, 5 Решение
-
Найти площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, если основание этого треугольника равно 24 см, а боковая сторона 13 см. Ответ: \(285,61\pi\) Решение
-
К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 8 см, проведена касательная, параллельная основанию. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между сторонами треугольника. Ответ: 3 Решение
-
На основании равнобедренного треугольника, равном 8 см, как на хорде построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найти радиус окружности, если длина высоты, проведенной к основанию треугольника, равна 3 см. Ответ: 20/3 Решение
-
Из точки А проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса R в точках В к С так, что треугольник ABC — равносторонний. Найти его площадь. Ответ: \(3R^2\sqrt{3}/4\) Решение
-
Площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность, равна \(Q^2\). Доказать, что радиус окружности равен \(2Q\cdot\sqrt[4]{3}/3\).
-
В окружность, диаметр которой равен \(\sqrt{12}\), вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен другой правильный треугольник, в который вписана новая окружность. Найти радиус этой окружности. Ответ: 3/4 Решение
-
В правильный треугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найти площадь образовавшегося кольца, если сторона треугольника равна а. Ответ: \(\pi a^2/4\) Решение
-
Каждая сторона правильного треугольника разделена на три равные части, и соответственные точки деления, считая в одном направлении, соединены между собой. В полученный правильный треугольник вписана окружность радиуса r = 6 см. Определить стороны треугольников. Ответ: \(12\sqrt{3}; 36\) Решение
-
Дан правильный треугольник ABC. Точка K делит сторону АС в отношении 2:1, а точка М — сторону АВ в отношении 1:2 (считая в обоих случаях от вершины А). Показать, что длина отрезка КМ равна радиусу окружности, описанной около треугольника ABC.
-
В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найти сторону треугольника, если радиус малой окружности равен r. Ответ: \(6r\sqrt{3}\) Решение
-
На диаметре 2R полуокружности построен правильный треугольник, сторона которого равна диаметру. Треугольник расположен по ту же сторону от диаметра, что и полуокружность. Вычислить площадь той части треугольника, которая лежит вне круга. Ответ: \(R^2(3\sqrt{3}-\pi)/6\) Решение
-
На диаметре 2R полукруга построен правильный треугольник, стороны которого равны диаметру. Как относятся площади частей треугольника, лежащих вне и внутри круга? Ответ: \((3\sqrt{3}-\pi)/(3\sqrt{3}+\pi)\) Решение
-
В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 15° и 60°. Найти площадь треугольника. Ответ: \(R^2\sqrt{3}/4\) Решение
-
Стороны треугольника равны 13,14 и 15 см. Найти отношение площадей описанного и вписанного в треугольник кругов. Ответ: \((65/32)^2\) Решение
-
В треугольнике длины сторон относятся как 2:3:4. В него вписан полукруг с диаметром, лежащим на большей стороне. Найти отношение площади полукруга к площади треугольника. Ответ: \(3\pi\sqrt{15}/50\) Решение
-
Дан треугольник со сторонами 12, 15 и 18 см. Проведена окружность, касающаяся обеих меньших сторон и имеющая центр на большей стороне. Найти отрезки, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника. Ответ: \(8; 10\) Решение
-
Расстояние от центра круга до хорды длиной 16 см равно 15 см. Найти площадь треугольника, описанного около круга, если периметр треугольника равен 200 см. Ответ: 1700 Решение
-
Доказать, что отношение периметра треугольника к одной из его сторон равно отношению высоты, проведенной на эту сторону, к радиусу вписанной окружности.