Студенческая олимпиада МФТИ 1995

Условия задач с ответами

1.1 Может ли график непрерывной функции $f:R\to R$ пересекать каждую невертикальную прямую бесконечное число раз?

1.2 Существует ли непрерывная при $x>1$ функция $f$ , удовлетворяющая уравнению $(x^2-x)(f(x^2)+f(x))=1$ ?

2. Существует ли непрерывно дифференцируемая функция $f:R\to R$ , удовлетворяющая условиям $|f(x)|<2$ и $f(x)f'(x)\ge\sin x$ для любого $x\in R$ ?

3. Пусть $f_1,...,f_n$ - линейно независимая система непрерывно дифференцируемых на отрезке [0;1] функций. Докажите, что среди произвольных $f'_1,...,f'_n$ найдутся $n-1$ линейно независимых функций.

4. Найдите предел $\lim_{n\to\infty}(\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{C_n^{k}})^n$

5. Докажите, что при $x^2+y^2+z^2=1$ определитель матрицы $\begin{pmatrix}1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\end{pmatrix}$ меньше 1.

6.1 Определите сумму двух множеств на евклидовой плоскости: $A+B=\{x\in R^2|x=a+b,a\in A,b\in B\}$ . Пусть $A=B_r(a)\cap B_r(-a)$ , где $B_r(a)=\{x\in R^2|||x-a||\le r\}$ - круг радиуса $r>0$ с центром в точке $a$ , $||a||<r$ . Доказать, что найдутся такие точки $b_1$ и $b_2$ , что $A+((B_r(b_1)\cap B_r(b_2))=B_r(0)$ .

6.2 Для множеств на комплексной плоскости определим операции сложения и умножения $A+B=\{z\in C|z=a+b,a\in A,b\in B\}$ , $A\cdot B=\{z\in C|z=ab,a\in A,b\in B\}$ . Пусть $A=\{z||z|=\displaystyle\frac{1}{1995}\}$ . Найдите хотя бы одно решение уравнения $A+X=A\cdot X$ , удовлетворяющее условию $0\notin X$ .