Студенческая олимпиада МФТИ 1995
Условия задач с ответами
1.1 Может ли график непрерывной функции пересекать каждую невертикальную прямую бесконечное число раз?
1.2 Существует ли непрерывная при функция
, удовлетворяющая уравнению
?
2. Существует ли непрерывно дифференцируемая функция , удовлетворяющая условиям
и
для любого
?
3. Пусть - линейно независимая система непрерывно дифференцируемых на отрезке [0;1] функций. Докажите, что среди произвольных
найдутся
линейно независимых функций.
4. Найдите предел
5. Докажите, что при определитель матрицы
меньше 1.
6.1 Определите сумму двух множеств на евклидовой плоскости: . Пусть
, где
- круг радиуса
с центром в точке
,
. Доказать, что найдутся такие точки
и
, что
.
6.2 Для множеств на комплексной плоскости определим операции сложения и умножения ,
. Пусть
. Найдите хотя бы одно решение уравнения
, удовлетворяющее условию
.
1.1 Да
1.2. Да
2. Нет
4.
6.2 Например,
к разделу Олимпиадные студенческие задачи